Durée de vie d'un composant — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 9)

Durée de vie d'un composant

Lois à densité · niveau 1 (application)

Énoncé

Durée de vie d'un composant.

La durée de vie $X$ , en heures, d'un composant électronique suit la loi exponentielle de paramètre $λ = 0, 0004$ h $^{- 1}$ .

Donner $E (X)$ et interpréter.
Calculer $P (X > 2000)$ et $P (X \leq 1000)$ .
Calculer $P (1000 \leq X \leq 3000)$ .
Déterminer la médiane et la comparer à l'espérance.

Corrigé

Durée de vie moyenne. $E (X) = \frac{1}{λ} = \frac{1}{0 , 0004} = 2500$ heures. Sur un grand lot, un composant tient en moyenne $2500$ heures.
Deux probabilités. On utilise $P (X > t) = e^{- λ t}$ :

$P (X > 2000) = e^{- 0, 8} \approx 0, 449, P (X \leq 1000) = 1 - e^{- 0, 4} \approx 0, 330.$

Environ $45 %$ des composants dépassent $2000$ heures ; un tiers lâche avant $1000$ heures.

Un intervalle.

$P (1000 \leq X \leq 3000) = F (3000) - F (1000) = e^{- 0, 4} - e^{- 1, 2} \approx 0, 670 - 0, 301 = 0, 369.$

Médiane.

$m = \frac{ln 2}{0 , 0004} = 2500 ln 2 \approx 1733 heures.$

La moitié des composants meurt avant $1733$ heures, bien avant la moyenne de $2500$ heures : quelques survivants très durables suffisent à tirer la moyenne vers le haut.