La somme de deux nombres au hasard

La somme de deux nombres au hasard.

On tire indépendamment deux nombres $U_1$ et $U_2$ au hasard dans $[0;1]$ et l'on note $S=U_1+U_2$. On admet que le point $(U_1;U_2)$ tombe dans une partie du carré $[0;1]\times [0;1]$ avec une probabilité égale à l'aire de cette partie.

• Pour $0\le s\le 1$, représenter l'événement $(S\le s)$ dans le carré, et montrer que $P(S\le s)=\frac{s^2}{2}$.
• Pour $1\le s\le 2$, montrer de même que $P(S\le s)=1-\frac{(2-s{)}^2}{2}$.
• En dérivant la fonction de répartition, déterminer la densité de $S$ sur $[0;2]$. Pourquoi dit-on que sa loi est « triangulaire » ?
• Calculer $E(S)$ à l'aide de cette densité, et retrouver le résultat du cours.
• Écrire un programme qui estime $P(S\le 0,5)$ par simulation, et donner la valeur théorique.