Le bus de toutes les douze minutes — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 9)

Le bus de toutes les douze minutes

Lois à densité · niveau 1 (application)

Énoncé

Le bus de toutes les douze minutes.

Un bus passe régulièrement toutes les $12$ minutes. J'arrive à l'arrêt sans connaître l'horaire : mon temps d'attente $T$ , en minutes, suit la loi uniforme sur $[0; 12]$ .

Donner la densité de $T$ et sa fonction de répartition.
Calculer $P (T \leq 5)$ et $P (T \geq 8)$ .
Calculer $E (T)$ et $σ (T)$ .
J'attends déjà depuis $6$ minutes. Quelle est la probabilité d'attendre au moins $4$ minutes de plus ? Comparer à $P (T \geq 4)$ .

Corrigé

Densité et répartition. $f (t) = \frac{1}{12}$ sur $[0; 12]$ , et $F (t) = \frac{t}{12}$ sur ce même intervalle.
Deux probabilités.

$P (T \leq 5) = \frac{5}{12} \approx 0, 417, P (T \geq 8) = 1 - \frac{8}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} .$

Moyenne et écart type.

$E (T) = \frac{0 + 12}{2} = 6 min, σ (T) = \frac{12}{2 3} = 23 \approx 3, 46 min.$

Une probabilité conditionnelle. L'événement ${T \geq 10}$ est inclus dans ${T \geq 6}$ , donc

$P_{(T \geq 6)} (T \geq 10) = \frac{P ( T \geq 10 )}{P ( T \geq 6 )} = \frac{2/12}{6/12} = \frac{1}{3},$

alors que $P (T \geq 4) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ .

Les deux nombres diffèrent : la loi uniforme a de la mémoire. Avoir déjà attendu six minutes améliore nettement mes perspectives — ce qui est logique, puisque le bus ne peut pas tarder plus de douze minutes.