Le serveur qui ne vieillit pas

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 9 — Lois à densité

Énoncé

Le serveur qui ne vieillit pas.

Le délai $X$ avant la première panne d'un serveur, en jours, suit la loi exponentielle de paramètre $λ = 0, 005$ j $^{- 1}$ .

Calculer $E (X)$ et $P (X > 100)$ .
Le serveur fonctionne sans incident depuis $150$ jours. Calculer la probabilité qu'il tienne encore $100$ jours, en détaillant le calcul conditionnel.
Quelle est, à cet instant, la durée de vie moyenne restante ?

Corrigé

Deux valeurs. $E (X) = \frac{1}{0 , 005} = 200$ jours, et $P (X > 100) = e^{- 0, 5} \approx 0, 607$ .
Le calcul conditionnel. On cherche $P_{(X > 150)} (X > 250)$ . Comme ${X > 250} \subset {X > 150}$ ,

$P_{(X > 150)} (X > 250) = \frac{P ( X > 250 )}{P ( X > 150 )} = \frac{e ^{- 1, 25}}{e ^{- 0, 75}} = e^{- 1, 25 + 0, 75} = e^{- 0, 5} \approx 0, 607.$

C'est exactement $P (X > 100)$ : les $150$ jours écoulés n'ont laissé aucune trace.

Espérance restante. Puisque la loi du temps restant est la même que la loi de départ, la durée de vie moyenne restante est encore $\frac{1}{λ} = 200$ jours — quel que soit l'âge du serveur.

Un serveur modélisé ainsi ne s'use pas : il tombe en panne par accident, pas par fatigue. C'est une hypothèse forte, à discuter avant de l'adopter.

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