Le temps perdu dans les bouchons

Le temps perdu dans les bouchons.

On note $X$ la part du temps d'un trajet domicile-travail passée à l'arrêt dans les embouteillages (un nombre entre $0$ et $1$). Une enquête conduit à modéliser $X$ par la densité

$$f(t)=\frac{3}{2}\left(1-t^2\right)\text{sur }[0;1].$$

• Vérifier que $f$ est une densité, et déterminer la fonction de répartition $F$.
• Calculer la probabilité qu'un trajet soit passé à moins de moitié à l'arrêt.
• Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$.
• Montrer que la médiane $m$ de $X$ vérifie $m^3-3m+1=0$, puis l'encadrer à $0,01$ près par balayage, sachant qu'elle est l'unique solution dans $[0;1]$. Comparer à l'espérance.