Moyenne ou médiane ?

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 9 — Lois à densité

Énoncé

Moyenne ou médiane ?

Dans une région sismique, le temps $X$ écoulé entre deux séismes de magnitude supérieure à $6$ suit une loi exponentielle d'espérance $30$ ans.

Déterminer $λ$ et $σ (X)$ .
Calculer la médiane de $X$ .
Calculer $P (X > 30)$ , c'est-à-dire la probabilité qu'un intervalle dépasse la moyenne. Commenter.

Corrigé

Paramètre et dispersion. $E (X) = \frac{1}{λ} = 30$ donne $λ = \frac{1}{30} \approx 0, 0333$ an $^{- 1}$ . Pour une loi exponentielle, $σ (X) = E (X) = 30$ ans : la dispersion est aussi grande que la moyenne elle-même.
Médiane.

$m = \frac{ln 2}{λ} = 30 ln 2 \approx 20, 8 ans.$

Un intervalle sur deux est inférieur à $21$ ans environ.

Au-dessus de la moyenne.

$P (X > 30) = e^{- λ \times 30} = e^{- 1} \approx 0, 368.$

Seuls $37 %$ des intervalles dépassent la moyenne : dire « un séisme tous les $30$ ans » suggère une régularité qui n'existe pas. La médiane, $21$ ans, décrit mieux l'attente typique, et l'écart type de $30$ ans dit que tout est possible, d'une année à un siècle.

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