Simuler un dépistage — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 9)

Simuler un dépistage

Lois à densité · niveau 1 (application)

Énoncé

Simuler un dépistage.

Dans une population, une maladie touche $3 %$ des individus. On veut simuler le dépistage de $100000$ personnes.

Justifier que l'instruction random() < 0.03 produit un événement de probabilité $0, 03$ .
Écrire la fonction bernoulli(p) et simuler les $100000$ tests.
Comparer le résultat à l'espérance théorique.

Corrigé

Justification. random() renvoie un nombre $U$ suivant la loi uniforme sur $[0; 1]$ . Donc

$P (U < 0, 03) = \int_{0}^{0, 03} 1 d t = 0, 03.$

La condition est vraie avec la probabilité voulue, et une seule comparaison suffit.

Le programme.


from random import random, seed

def bernoulli(p):
    if random() < p:
        return 1
    return 0

seed(2026)
n = 100000
total = sum(bernoulli(0.03) for _ in range(n))
print(total, total / n)        # 3041 0.03041

Comparaison. Le nombre de malades dépistés suit la loi binomiale $B (100000; 0, 03)$ , d'espérance $n p = 3000$ . La simulation en donne $3041$ , soit une fréquence de $0, 0304$ contre $0, 03$ attendu.

L'écart relatif est inférieur à $1, 5 %$ : c'est l'ordre de grandeur des fluctuations d'échantillonnage sur $100000$ tirages.