Une densité en cloche

• Trois vérifications. Sur $[0;1]$, $x\ge 0$ et $1-x\ge 0$, donc $f(x)\ge 0$. La fonction est un polynôme, donc continue. Enfin

$${\int }_0^1(6x-6x^2)\mathrm{d}x={\left[3x^2-2x^3\right]}_0^1=3-2=1.$$

• Une aire.

$$P(X\ge 0,8)={\left[3x^2-2x^3\right]}_{0,8}^1=1-(3\times 0,64-2\times 0,512)=1-0,896=0,104.$$

Un peu plus d'une journée sur dix, le service dépasse les $80\%$.

• Moyenne et dispersion.

$$E(X)={\int }_0^1(6x^2-6x^3)\mathrm{d}x={\left[2x^3-\frac{3x^4}{2}\right]}_0^1=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}.$$

La symétrie de la courbe autour de $x=0,5$ le confirmait. Puis

$${\int }_0^1{x}^{2}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^1(6x^3-6x^4)\mathrm{d}x={\left[\frac{3x^4}{2}-\frac{6x^5}{5}\right]}_0^1=\frac{3}{2}-\frac{6}{5}=\frac{3}{10},$$

d'où $V(X)=\frac{3}{10}-\frac{1}{4}=\frac{1}{20}=0,05$ et $\sigma (X)=\sqrt{0,05}\approx 0,224$.

Le service tourne en moyenne à la moitié de sa capacité, avec des écarts typiques d'environ $22$ points.