Une densité en cloche — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 9)

Une densité en cloche

Lois à densité · niveau 2

Énoncé

Une densité en cloche.

Le taux d'occupation $X$ des lits d'un service de réanimation (un nombre compris entre $0$ et $1$ ) est modélisé par la densité

$f (x) = 6 x (1 - x) sur [0; 1] .$

Vérifier que $f$ est bien une densité de probabilité.
Calculer la probabilité que le service soit occupé à plus de $80 %$ .
Calculer $E (X)$ , puis $V (X)$ et $σ (X)$ .

Corrigé

Trois vérifications. Sur $[0; 1]$ , $x \geq 0$ et $1 - x \geq 0$ , donc $f (x) \geq 0$ . La fonction est un polynôme, donc continue. Enfin

$\int_{0}^{1} (6 x - 6 x^{2}) d x = [3 x^{2} - 2 x^{3}]_{0}^{1} = 3 - 2 = 1.$

Une aire.

$P (X \geq 0, 8) = [3 x^{2} - 2 x^{3}]_{0, 8}^{1} = 1 - (3 \times 0, 64 - 2 \times 0, 512) = 1 - 0, 896 = 0, 104.$

Un peu plus d'une journée sur dix, le service dépasse les $80 %$ .

Moyenne et dispersion.

$E (X) = \int_{0}^{1} (6 x^{2} - 6 x^{3}) d x = [2 x^{3} - \frac{3 x ^{4}}{2}]_{0}^{1} = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} .$

La symétrie de la courbe autour de $x = 0, 5$ le confirmait. Puis

$\int_{0}^{1} x^{2} f (x) d x = \int_{0}^{1} (6 x^{3} - 6 x^{4}) d x = [\frac{3 x ^{4}}{2} - \frac{6 x ^{5}}{5}]_{0}^{1} = \frac{3}{2} - \frac{6}{5} = \frac{3}{10},$

d'où $V (X) = \frac{3}{10} - \frac{1}{4} = \frac{1}{20} = 0, 05$ et $σ (X) = 0, 05 \approx 0, 224$ .

Le service tourne en moyenne à la moitié de sa capacité, avec des écarts typiques d'environ $22$ points.