Calculs algébriques et puissances de $\mathrm{i}$

• On regroupe parties réelles et parties imaginaires :

$$z_1+z_2=(3-1)+\mathrm{i}(-2+4)=2+2\mathrm{i}$$

$$z_1{z}_2=(3-2\mathrm{i})(-1+4\mathrm{i})=-3+12\mathrm{i}+2\mathrm{i}-8{\mathrm{i}}^2=(-3+8)+14\mathrm{i}=5+14\mathrm{i}$$

$$z_1^2=(3-2\mathrm{i}{)}^2=9-12\mathrm{i}+4{\mathrm{i}}^2=(9-4)-12\mathrm{i}=5-12\mathrm{i}$$

• On multiplie haut et bas par $\overline{z_2}=-1-4\mathrm{i}$, sachant que $z_2\overline{z_2}=(-1{)}^2+4^2=17$ :

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{(3-2\mathrm{i})(-1-4\mathrm{i})}{17}=\frac{-3-12\mathrm{i}+2\mathrm{i}+8{\mathrm{i}}^2}{17}=\frac{-11-10\mathrm{i}}{17}=-\frac{11}{17}-\frac{10}{17}\mathrm{i}$$

• Les puissances de $\mathrm{i}$ sont périodiques de période $4$ : ${\mathrm{i}}^0=1$, ${\mathrm{i}}^1=\mathrm{i}$, ${\mathrm{i}}^2=-1$, ${\mathrm{i}}^3=-\mathrm{i}$, puis ${\mathrm{i}}^4=1$. Comme $2026=4\times 506+2$ :

$${\mathrm{i}}^{2026}={\left({\mathrm{i}}^4\right)}^{506}\times {\mathrm{i}}^2=1\times (-1)=-1$$

Pour la seconde, on part de $(1+\mathrm{i}{)}^2=1+2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2=2\mathrm{i}$ :

$$(1+\mathrm{i}{)}^{10}={\left((1+\mathrm{i}{)}^2\right)}^5=(2\mathrm{i}{)}^5=32{\mathrm{i}}^5=32\mathrm{i}$$