Factorisation par l'angle moitié

• L'idée est de mettre en facteur l'exponentielle de l'angle moitié. Comme $e^{\mathrm{i}\theta }={\left(e^{\mathrm{i}\frac{\theta }{2}}\right)}^2$ :

$$1+e^{\mathrm{i}\theta }=e^{\mathrm{i}\frac{\theta }{2}}\left(e^{-\mathrm{i}\frac{\theta }{2}}+e^{\mathrm{i}\frac{\theta }{2}}\right)$$

Or la formule d'Euler donne $e^{\mathrm{i}x}+e^{-\mathrm{i}x}=2\cos (x)$ avec $x=\frac{\theta }{2}$, d'où la première identité. De même :

$$1-e^{\mathrm{i}\theta }=e^{\mathrm{i}\frac{\theta }{2}}\left(e^{-\mathrm{i}\frac{\theta }{2}}-e^{\mathrm{i}\frac{\theta }{2}}\right)=-e^{\mathrm{i}\frac{\theta }{2}}\left(e^{\mathrm{i}\frac{\theta }{2}}-e^{-\mathrm{i}\frac{\theta }{2}}\right)=-2\mathrm{i}\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)e^{\mathrm{i}\frac{\theta }{2}}$$

puisque $e^{\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}x}=2\mathrm{i}\sin (x)$.

• Attention : l'écriture $r{e}^{\mathrm{i}\alpha }$ n'est la forme exponentielle que si $r>0$. Ici, pour $\theta \in \left]-\pi ,\pi \right[$, on a $\frac{\theta }{2}\in \left]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right[$, donc $\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)>0$. Le facteur $2\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)$ est bien un réel strictement positif et :

$$\left|1+e^{\mathrm{i}\theta }\right|=2\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)\text{et}\arg \left(1+e^{\mathrm{i}\theta }\right)\equiv \frac{\theta }{2}(\mathrm{mod}2\pi )$$

• Le module d'un produit est le produit des modules, et $\left|e^{\mathrm{i}\frac{\theta }{2}}\right|=1$, $|-2\mathrm{i}|=2$ :

$$\left|1-e^{\mathrm{i}\theta }\right|=2\left|\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right|$$

(la valeur absolue est indispensable : $\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)$ change de signe).

• Avec $\theta =\frac{\pi }{3}$, donc $\frac{\theta }{2}=\frac{\pi }{6}$ :

$$1+e^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}=2\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)e^{\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}=\sqrt{3}{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$$

Vérification par le calcul direct : $1+e^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}=1+\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$, dont le module vaut $\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{3}$.