Factorisation par l'angle moitié — exercice corrigé de maths expertes terminale (chapitre 1)

Factorisation par l'angle moitié

Nombres Complexes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Factorisation par l'angle moitié.

Soit $θ$ un nombre réel.

Démontrer les deux identités :

$1 + e^{i θ} = 2 cos (\frac{θ}{2}) e^{i \frac{θ}{2}} et 1 - e^{i θ} = - 2 i sin (\frac{θ}{2}) e^{i \frac{θ}{2}}$

En déduire, pour $θ \in] - π, π [$ , le module et un argument de $1 + e^{i θ}$ .
Donner $1 - e^{i θ}$ pour $θ$ quelconque.
Application : déterminer la forme exponentielle de $1 + e^{i \frac{π}{3}}$ .

Corrigé

L'idée est de mettre en facteur l'exponentielle de l'angle moitié. Comme $e^{i θ} = (e^{i \frac{θ}{2}})^{2}$ :

$1 + e^{i θ} = e^{i \frac{θ}{2}} (e^{- i \frac{θ}{2}} + e^{i \frac{θ}{2}})$

Or la formule d'Euler donne $e^{i x} + e^{- i x} = 2 cos (x)$ avec $x = \frac{θ}{2}$ , d'où la première identité. De même :

$1 - e^{i θ} = e^{i \frac{θ}{2}} (e^{- i \frac{θ}{2}} - e^{i \frac{θ}{2}}) = - e^{i \frac{θ}{2}} (e^{i \frac{θ}{2}} - e^{- i \frac{θ}{2}}) = - 2 i sin (\frac{θ}{2}) e^{i \frac{θ}{2}}$

puisque $e^{i x} - e^{- i x} = 2 i sin (x)$ .

Attention : l'écriture $r e^{i α}$ n'est la forme exponentielle que si $r > 0$ . Ici, pour $θ \in] - π, π [$ , on a $\frac{θ}{2} \in] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ , donc $cos (\frac{θ}{2}) > 0$ . Le facteur $2 cos (\frac{θ}{2})$ est bien un réel strictement positif et :

$1 + e^{i θ} = 2 cos (\frac{θ}{2}) et ar g (1 + e^{i θ}) \equiv \frac{θ}{2} (mod 2 π)$

Le module d'un produit est le produit des modules, et $e^{i \frac{θ}{2}} = 1$ , $∣ - 2 i ∣ = 2$ :

$1 - e^{i θ} = 2 sin (\frac{θ}{2})$

(la valeur absolue est indispensable : $sin (\frac{θ}{2})$ change de signe).

Avec $θ = \frac{π}{3}$ , donc $\frac{θ}{2} = \frac{π}{6}$ :

$1 + e^{i \frac{π}{3}} = 2 cos (\frac{π}{6}) e^{i \frac{π}{6}} = 2 \times \frac{3}{2} e^{i \frac{π}{6}} = 3 e^{i \frac{π}{6}}$

Vérification par le calcul direct : $1 + e^{i \frac{π}{3}} = 1 + \frac{1}{2} + i \frac{3}{2} = \frac{3}{2} + i \frac{3}{2}$ , dont le module vaut $\frac{9}{4} + \frac{3}{4} = 3$ .