Linéariser, puis « délinéariser »

• La formule d'Euler donne $\cos (x)=\frac{e^{\mathrm{i}x}+e^{-\mathrm{i}x}}{2}$, donc :

$${\cos }^4(x)=\frac{{\left(e^{\mathrm{i}x}+e^{-\mathrm{i}x}\right)}^4}{16}$$

La formule du binôme, avec les coefficients $1,4,6,4,1$, donne :

$${\left(e^{\mathrm{i}x}+e^{-\mathrm{i}x}\right)}^4=e^{4\mathrm{i}x}+4e^{2\mathrm{i}x}+6+4e^{-2\mathrm{i}x}+e^{-4\mathrm{i}x}$$

En regroupant les termes conjugués deux à deux :

$${\left(e^{\mathrm{i}x}+e^{-\mathrm{i}x}\right)}^4=2\cos (4x)+8\cos (2x)+6$$

d'où la forme linéarisée :

$${\cos }^4(x)=\frac{1}{8}\cos (4x)+\frac{1}{2}\cos (2x)+\frac{3}{8}$$

(contrôle en $x=0$ : $\frac{1}{8}+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}=1={\cos }^4(0)$).

• La formule de Moivre s'écrit $\cos (4x)+\mathrm{i}\sin (4x)={\left(\cos (x)+\mathrm{i}\sin (x)\right)}^4$. Développons par le binôme, en notant $c=\cos (x)$ et $s=\sin (x)$ :

$$(c+\mathrm{i}s{)}^4=c^4+4\mathrm{i}{c}^{3}s-6c^2{s}^2-4\mathrm{i}c{s}^3+s^4$$

(car ${\mathrm{i}}^2=-1$, ${\mathrm{i}}^3=-\mathrm{i}$ et ${\mathrm{i}}^4=1$). En identifiant les parties réelles :

$$\cos (4x)=c^4-6c^2{s}^2+s^4$$

Avec $s^2=1-c^2$ :

$$\cos (4x)=c^4-6c^2(1-c^2)+(1-c^2{)}^2=c^4-6c^2+6c^4+1-2c^2+c^4=8c^4-8c^2+1$$

Autrement dit $\cos (4x)=8{\cos }^4(x)-8{\cos }^2(x)+1$.

• Reportons ce résultat, ainsi que $\cos (2x)=2c^2-1$, dans la forme linéarisée :

$$\frac{1}{8}\left(8c^4-8c^2+1\right)+\frac{1}{2}\left(2c^2-1\right)+\frac{3}{8}=c^4-c^2+\frac{1}{8}+c^2-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}=c^4$$

On retrouve bien ${\cos }^4(x)$ : les deux calculs se confirment mutuellement. Les formules d'Euler servent à abaisser les puissances (utile pour intégrer), celle de Moivre à les faire apparaître.