Problème — Inégalité triangulaire et identité du parallélogramme

• On part de $|w{|}^2=w\bar{w}$ et du conjugué d'une somme :

$$|z+z^{\prime }{|}^2=(z+z^{\prime })\overline{(z+z^{\prime })}=(z+z^{\prime })\left(\bar{z}+\overline{z^{\prime }}\right)=z\bar{z}+z\overline{z^{\prime }}+z^{\prime }\bar{z}+z^{\prime }\overline{z^{\prime }}$$

Les deux termes du milieu sont conjugués l'un de l'autre : $\overline{z\overline{z^{\prime }}}=\bar{z}\overline{\overline{z^{\prime }}}=\bar{z}{z}^{\prime }=z^{\prime }\bar{z}$. Leur somme vaut donc $2\mathrm{Re}\left(z\overline{z^{\prime }}\right)$, et il reste :

$$|z+z^{\prime }{|}^2=|z{|}^2+2\mathrm{Re}\left(z\overline{z^{\prime }}\right)+|z^{\prime }{|}^2$$

• Écrivons $w=x+\mathrm{i}y$ avec $x,y$ réels. Alors $\mathrm{Re}(w)=x\le |x|=\sqrt{x^2}\le \sqrt{x^2+y^2}=|w|$. L'égalité impose $x=|x|$, soit $x\ge 0$, et $\sqrt{x^2}=\sqrt{x^2+y^2}$, soit $y=0$ : $w$ est alors un réel positif (et réciproquement, si $w=x\ge 0$, alors $\mathrm{Re}(w)=x=|w|$). En appliquant cela à $w=z\overline{z^{\prime }}$, dont le module vaut $|z|\left|\overline{z^{\prime }}\right|=|z||z^{\prime }|$ :

$$|z+z^{\prime }{|}^2\le |z{|}^2+2|z||z^{\prime }|+|z^{\prime }{|}^2={\left(|z|+|z^{\prime }|\right)}^2$$

Les deux membres étant positifs, on passe à la racine carrée : $|z+z^{\prime }|\le |z|+|z^{\prime }|$.

• D'après la chaîne précédente, il y a égalité si et seulement si $\mathrm{Re}\left(z\overline{z^{\prime }}\right)=|z||z^{\prime }|=\left|z\overline{z^{\prime }}\right|$, c'est-à-dire si et seulement si $z\overline{z^{\prime }}$ est un réel positif. Écrivons $z=r{e}^{\mathrm{i}\alpha }$ et $z^{\prime }=r^{\prime }{e}^{\mathrm{i}\beta }$ avec $r>0$ et $r^{\prime }>0$. Alors $z\overline{z^{\prime }}=r{r}^{\prime }{e}^{\mathrm{i}(\alpha -\beta )}$, qui est un réel positif si et seulement si $\alpha -\beta \equiv 0(\mathrm{mod}2\pi )$. L'égalité a donc lieu exactement lorsque $z$ et $z^{\prime }$ ont le même argument : les points $O$, $M$ et $M^{\prime }$ sont alignés et les vecteurs $\overrightarrow{OM}$, $\overrightarrow{O{M}^{\prime }}$ sont de même sens.
• En remplaçant $z^{\prime }$ par $-z^{\prime }$ dans la question 1, et puisque $\overline{-z^{\prime }}=-\overline{z^{\prime }}$, $|-z^{\prime }|=|z^{\prime }|$ et $\mathrm{Re}(-w)=-\mathrm{Re}(w)$ :

$$|z-z^{\prime }{|}^2=|z{|}^2-2\mathrm{Re}\left(z\overline{z^{\prime }}\right)+|z^{\prime }{|}^2$$

En additionnant avec l'égalité de la question 1, les doubles produits se compensent :

$$|z+z^{\prime }{|}^2+|z-z^{\prime }{|}^2=2\left(|z{|}^2+|z^{\prime }{|}^2\right)$$

Géométriquement, dans le parallélogramme $OMS{M}^{\prime }$, les longueurs $|z+z^{\prime }|=OS$ et $|z-z^{\prime }|=M^{\prime }M$ sont celles des deux diagonales, tandis que $|z|=OM$ et $|z^{\prime }|=O{M}^{\prime }$ sont celles de deux côtés consécutifs. L'identité dit : la somme des carrés des deux diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés.

• Ici $|z{|}^2=4^2+1^2=17$ et $|z^{\prime }{|}^2=1^2+3^2=10$. Par ailleurs $z+z^{\prime }=5+4\mathrm{i}$ et $z-z^{\prime }=3-2\mathrm{i}$, donc :

$$|z+z^{\prime }{|}^2=25+16=41\text{et}|z-z^{\prime }{|}^2=9+4=13$$

On vérifie $41+13=54=2(17+10)$ : l'identité est satisfaite. Enfin $|z+z^{\prime }|=\sqrt{41}\approx 6,40$ tandis que $|z|+|z^{\prime }|=\sqrt{17}+\sqrt{10}\approx 7,29$ : l'inégalité est stricte, ce qui est cohérent avec la question 3 puisque $z$ et $z^{\prime }$ n'ont pas le même argument.

• Écrivons $z=(z-z^{\prime })+z^{\prime }$ et appliquons l'inégalité triangulaire :

$$|z|\le |z-z^{\prime }|+|z^{\prime }|\text{d’ouˋ}|z|-|z^{\prime }|\le |z-z^{\prime }|$$

En échangeant les rôles de $z$ et $z^{\prime }$, et puisque $|z^{\prime }-z|=|z-z^{\prime }|$ :

$$|z^{\prime }|-|z|\le |z-z^{\prime }|$$

Le nombre $|z-z^{\prime }|$ majore donc à la fois $|z|-|z^{\prime }|$ et son opposé, c'est-à-dire leur valeur absolue :

$$||z|-|z^{\prime }||\le |z-z^{\prime }|$$

Sur l'exemple précédent : $\left|\sqrt{17}-\sqrt{10}\right|\approx 0,96$, bien inférieur à $|z-z^{\prime }|=\sqrt{13}\approx 3,61$.