Problème — Linéarisation, intégrale et valeur moyenne

• La formule d'Euler donne $\sin (x)=\frac{e^{\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}$, et $(2\mathrm{i}{)}^4=16{\mathrm{i}}^4=16$. Donc :

$${\sin }^4(x)=\frac{{\left(e^{\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}x}\right)}^4}{16}$$

Le binôme, avec les signes alternés, donne :

$${\left(e^{\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}x}\right)}^4=e^{4\mathrm{i}x}-4e^{2\mathrm{i}x}+6-4e^{-2\mathrm{i}x}+e^{-4\mathrm{i}x}=2\cos (4x)-8\cos (2x)+6$$

d'où :

$${\sin }^4(x)=\frac{1}{8}\cos (4x)-\frac{1}{2}\cos (2x)+\frac{3}{8}$$

• Pour $x=0$ : le membre de droite vaut $\frac{1}{8}-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}=0={\sin }^4(0)$. Pour $x=\frac{\pi }{2}$ : $\cos (2\pi )=1$ et $\cos (\pi )=-1$, donc le membre de droite vaut $\frac{1}{8}+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}=1={\sin }^4\left(\frac{\pi }{2}\right)$. Les deux contrôles sont satisfaits.
• Une primitive de $x\mapsto \cos (kx)$ est $x\mapsto \frac{\sin (kx)}{k}$ :

$${\int }_0^{\pi }{\sin }^4(x)\mathrm{d}x={\left[\frac{1}{8}\cdot \frac{\sin (4x)}{4}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin (2x)}{2}+\frac{3}{8}x\right]}_0^{\pi }$$

Or $\sin (4\pi )=\sin (2\pi )=\sin (0)=0$ : seuls les termes constants subsistent et

$${\int }_0^{\pi }{\sin }^4(x)\mathrm{d}x=\frac{3\pi }{8}$$

La valeur moyenne sur $[0,\pi ]$ vaut donc $\frac{1}{\pi -0}\times \frac{3\pi }{8}=\frac{3}{8}$. (À comparer avec la valeur moyenne de ${\sin }^2$, qui vaut $\frac{1}{2}$ : élever au carré une quantité inférieure à $1$ fait bien baisser la moyenne.)

• Par Euler. On utilise l'identité $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ avec $A=e^{\mathrm{i}x}$ et $B=e^{-\mathrm{i}x}$ :

$$\sin (x)\cos (x)=\frac{\left(e^{\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}x}\right)\left(e^{\mathrm{i}x}+e^{-\mathrm{i}x}\right)}{2\mathrm{i}\times 2}=\frac{e^{2\mathrm{i}x}-e^{-2\mathrm{i}x}}{4\mathrm{i}}$$

En élevant au carré, et comme $(4\mathrm{i}{)}^2=-16$ :

$${\sin }^2(x){\cos }^2(x)=\frac{e^{4\mathrm{i}x}-2+e^{-4\mathrm{i}x}}{-16}=\frac{2\cos (4x)-2}{-16}=\frac{1-\cos (4x)}{8}$$

Par la duplication. De $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$ on tire $\sin (x)\cos (x)=\frac{\sin (2x)}{2}$, puis :

$${\sin }^2(x){\cos }^2(x)=\frac{{\sin }^2(2x)}{4}=\frac{1}{4}\times \frac{1-\cos (4x)}{2}=\frac{1-\cos (4x)}{8}$$

en utilisant $\cos (2u)=1-2{\sin }^2(u)$ avec $u=2x$. Les deux voies concordent.

• Avec la même primitive :

$${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^2(x){\cos }^2(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{8}{\left[x-\frac{\sin (4x)}{4}\right]}_0^{\pi /2}=\frac{1}{8}\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\sin (2\pi )}{4}\right)=\frac{\pi }{16}$$