Problème — Un losange et deux triangles équilatéraux

• $a=2$ est un réel strictement positif : $|a|=2$ et $\arg (a)\equiv 0$, donc $a=2e^{\mathrm{i}\times 0}$. Pour $b$ : $|b|=\sqrt{1+3}=2$, puis $\cos (\theta )=\frac{1}{2}$ et $\sin (\theta )=\frac{\sqrt{3}}{2}$, d'où $\theta =\frac{\pi }{3}$ et $b=2e^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$.
• $b-a=-1+\mathrm{i}\sqrt{3}$, donc $|b-a|=\sqrt{1+3}=2$. Or $OA=|a|=2$, $OB=|b|=2$ et $AB=|b-a|=2$ : les trois côtés sont égaux, le triangle $OAB$ est équilatéral.
• Par construction $c-b=a$, c'est-à-dire $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}$ : le quadrilatère $OACB$ a deux côtés opposés $[OA]$ et $[BC]$ parallèles et de même longueur, c'est un parallélogramme. De plus $OA=OB=2$ : deux côtés consécutifs sont égaux, donc $OACB$ est un losange (de côté $2$).
• $c=2+1+\mathrm{i}\sqrt{3}=3+\mathrm{i}\sqrt{3}$, donc :

$$|c|=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$$

$$\cos (\theta )=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{et}\sin (\theta )=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\text{d’ouˋ}\arg (c)\equiv \frac{\pi }{6}(\mathrm{mod}2\pi )$$

Comme $\arg (a)\equiv 0$ et $\arg (b)\equiv \frac{\pi }{3}$, la demi-droite $[OC)$ partage l'angle $\widehat{AOB}$ en deux angles égaux de $\frac{\pi }{6}$ : on retrouve que la diagonale d'un losange issue d'un sommet en est la bissectrice.

• On remarque que $c-a=b$ et $c-b=a$, d'où :

$$\frac{c-a}{c-b}=\frac{b}{a}=\frac{2e^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}}{2}=e^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$$

Lisons ce quotient comme l'indique le cours, avec $M=C$ :

• son module vaut $1$, donc $\frac{CA}{CB}=1$ : le triangle $ABC$ est isocèle en $C$ ;
• son argument vaut $\frac{\pi }{3}$, donc $\left(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA}\right)\equiv \frac{\pi }{3}$.

Un triangle isocèle dont l'angle au sommet principal mesure $\frac{\pi }{3}$ a ses deux autres angles égaux à $\frac{1}{2}\left(\pi -\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{3}$ : le triangle $ABC$ est lui aussi équilatéral. On le vérifie sur les longueurs : $CA=|c-a|=|b|=2$, $CB=|c-b|=|a|=2$ et $AB=2$.

• De la forme exponentielle $c=2\sqrt{3}{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$ et de la formule de Moivre :

$$c^{12}={\left(2\sqrt{3}\right)}^{12}{e}^{\mathrm{i}\times 12\times \frac{\pi }{6}}={\left(2\sqrt{3}\right)}^{12}{e}^{2\mathrm{i}\pi }={\left(2\sqrt{3}\right)}^{12}$$

Or ${\left(2\sqrt{3}\right)}^2=12$, donc ${\left(2\sqrt{3}\right)}^{12}=12^6=2985984$. Ainsi $c^{12}=2985984$ : un réel positif, comme l'annonçait l'argument $12\times \frac{\pi }{6}=2\pi$.