Problème — Une suite de nombres complexes et sa spirale

• On applique la relation de récurrence :

$$z_1=\frac{1+\mathrm{i}}{2}\times 4=2(1+\mathrm{i})=2+2\mathrm{i}$$

$$z_2=\frac{1+\mathrm{i}}{2}\times (2+2\mathrm{i})=(1+\mathrm{i}{)}^2=2\mathrm{i}$$

$$z_3=\frac{1+\mathrm{i}}{2}\times 2\mathrm{i}=\mathrm{i}(1+\mathrm{i})=-1+\mathrm{i}$$

$$z_4=\frac{1+\mathrm{i}}{2}\times (-1+\mathrm{i})=\frac{-1+\mathrm{i}-\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$

• $|q|=\frac{|1+\mathrm{i}|}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\arg (q)\equiv \arg (1+\mathrm{i})\equiv \frac{\pi }{4}$ (diviser par le réel positif $2$ ne change pas l'argument). Donc :

$$q=\frac{\sqrt{2}}{2}{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$$

La suite $(z_n)$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $z_0=4$, donc $z_n=4q^n$, soit :

$$z_n=4{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n{e}^{\mathrm{i}\frac{n\pi }{4}}$$

• Comme $4{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n>0$, cette écriture est la forme exponentielle de $z_n$ :

$$|z_n|=O{M}_n=4{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n\text{et}\arg (z_n)\equiv \frac{n\pi }{4}(\mathrm{mod}2\pi )$$

Comme $0<\frac{\sqrt{2}}{2}<1$, la suite géométrique $(|z_n|)$ tend vers $0$ : les points $M_n$ tournent d'un huitième de tour à chaque étape tout en se rapprochant de l'origine. Ils décrivent une spirale qui converge vers $O$.

• En itérant huit fois : $z_{n+8}=q^8{z}_n$, avec

$$q^8={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^8{e}^{\mathrm{i}\times 8\times \frac{\pi }{4}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^4{e}^{2\mathrm{i}\pi }=\frac{1}{16}$$

(car ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}$). Donc $z_{n+8}=\frac{1}{16}{z}_n$ : après huit pas, soit un tour complet, le point $M_{n+8}$ se retrouve sur la demi-droite $[O{M}_n)$, mais seize fois plus près de $O$.

• Formons le quotient caractéristique du sommet $M_{n+1}$, en remarquant que $z_n\ne 0$ pour tout $n$ :

$$\frac{z_{n+1}-z_n}{z_{n+1}-0}=\frac{q{z}_n-z_n}{q{z}_n}=\frac{q-1}{q}=1-\frac{1}{q}$$

Or $\frac{1}{q}=\frac{2}{1+\mathrm{i}}=\frac{2(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=\frac{2(1-\mathrm{i})}{2}=1-\mathrm{i}$, d'où :

$$\frac{z_{n+1}-z_n}{z_{n+1}-0}=1-(1-\mathrm{i})=\mathrm{i}$$

Ce quotient a pour module $1$ et pour argument $\frac{\pi }{2}$. La lecture géométrique du cours (avec $M=M_{n+1}$, $A=M_n$ et $B=O$) donne :

$$\frac{M_{n+1}{M}_n}{M_{n+1}O}=1\text{et}\left(\overrightarrow{M_{n+1}O},\overrightarrow{M_{n+1}{M}_n}\right)\equiv \frac{\pi }{2}$$

Le triangle $O{M}_n{M}_{n+1}$ est donc rectangle et isocèle en $M_{n+1}$. (On le vérifie sur la figure pour $n=0$ : $M_0{M}_1=M_{1}O=2\sqrt{2}$ et $O{M}_0=4=2\sqrt{2}\times \sqrt{2}$.)

• Par définition du module comme distance :

$$L_n=|z_{n+1}-z_n|=|q{z}_n-z_n|=|z_n|\times |q-1|$$

Or $q-1=\frac{1+\mathrm{i}}{2}-1=\frac{-1+\mathrm{i}}{2}$, donc $|q-1|=\frac{\sqrt{2}}{2}$, et :

$$L_n=4{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n\times \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n$$

La suite $(L_n)$ est géométrique de premier terme $L_0=2\sqrt{2}$ et de raison $\frac{\sqrt{2}}{2}\in \left]0,1\right[$, donc :

$${\mathcal{L}}_n=2\sqrt{2}\frac{1-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}\underset{n\to +\infty }{\to }\frac{2\sqrt{2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$$

En multipliant par la quantité conjuguée $2+\sqrt{2}$ :

$$\frac{4\sqrt{2}\left(2+\sqrt{2}\right)}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}=\frac{8\sqrt{2}+8}{4-2}=4+4\sqrt{2}$$

La ligne brisée s'enroule indéfiniment autour de $O$, et pourtant sa longueur reste bornée : elle tend vers $4+4\sqrt{2}\approx 9,66$.