Valeurs exactes de $cos \frac{π}{12}$ et $sin \frac{π}{12}$

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques expertes (terminale), chapitre 1 — Nombres Complexes

Énoncé

Valeurs exactes de $cos \frac{π}{12}$ et $sin \frac{π}{12}$ .

On pose $Z = \frac{1 + i}{3 + i}$ .

Donner la forme exponentielle de $1 + i$ , puis celle de $3 + i$ , et en déduire celle de $Z$ .
Donner la forme algébrique de $Z$ .
En déduire les valeurs exactes de $cos (\frac{π}{12})$ et $sin (\frac{π}{12})$ .

$∣1 + i ∣ = 2$ avec $cos θ = sin θ = \frac{2}{2}$ , donc $1 + i = 2 e^{i \frac{π}{4}}$ . $∣ 3 + i ∣ = 3 + 1 = 2$ avec $cos θ = \frac{3}{2}$ et $sin θ = \frac{1}{2}$ , donc $3 + i = 2 e^{i \frac{π}{6}}$ . Le module d'un quotient est le quotient des modules, l'argument la différence des arguments :

$Z = \frac{2}{2} e^{i (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})} = \frac{2}{2} e^{i \frac{π}{12}}$

$Z = \frac{( 1 + i ) ( 3 - i )}{( 3 ) ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{3 - i + i 3 + 1}{4} = \frac{( 3 + 1 ) + i ( 3 - 1 )}{4}$

Les deux écritures de $Z$ donnent, en identifiant parties réelles et parties imaginaires :

$\frac{2}{2} cos (\frac{π}{12}) = \frac{3 + 1}{4} et \frac{2}{2} sin (\frac{π}{12}) = \frac{3 - 1}{4}$

D'où, en multipliant par $\frac{2}{2} = 2$ :

$cos (\frac{π}{12}) = \frac{2 ( 3 + 1 )}{4} = \frac{6 + 2}{4} et sin (\frac{π}{12}) = \frac{6 - 2}{4}$

Numériquement : $cos (\frac{π}{12}) \approx 0, 966$ et $sin (\frac{π}{12}) \approx 0, 259$ , ce qui est cohérent avec un angle de $1 5^{\circ}$ .

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.