Compléter un triangle équilatéral

Applications à l'algèbre et la géométrie · Géométrie et transformations · niveau 2

Énoncé

Compléter un triangle équilatéral. On considère les points $A$ et $B$ d'affixes $a = 1$ et $b = 3 + 2 i$ .

Justifier que le triangle $A B C$ est équilatéral avec $(A B, A C) = \frac{π}{3}$ si et seulement si $c - a = e^{i \frac{π}{3}} (b - a)$ .
En déduire l'affixe $c_{1}$ du point $C_{1}$ tel que $A B C_{1}$ soit équilatéral « direct », puis l'affixe $c_{2}$ du point $C_{2}$ tel que $(A B, A C_{2}) = - \frac{π}{3}$ et $A B C_{2}$ équilatéral.
Vérifier par un calcul de module que $B C_{1} = A B$ .
Montrer que le milieu de $[C_{1} C_{2}]$ est le milieu $I$ de $[A B]$ , et l'expliquer géométriquement.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.