Construire un carré par une rotation

Construire un carré par une rotation. On considère les points $A$ et $B$ d'affixes $a=1+\mathrm{i}$ et $b=3+2\mathrm{i}$.

• Donner l'écriture complexe de la rotation $r$ de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi }{2}$, puis calculer l'affixe $d$ du point $D=r(B)$.
• Déterminer l'affixe $c$ du point $C$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
• Calculer $\frac{d-a}{b-a}$ et en déduire que $ABCD$ est un carré. Préciser la longueur de son côté, son aire et l'affixe $\omega$ de son centre $\Omega$.
• Vérifier que la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\frac{\pi }{2}$ transforme $A$ en $B$, puis $B$ en $C$.