Les racines sixièmes de l'unité

D'après le théorème du cours, ${\mathbb{U}}_6=\left\{e^{\mathrm{i}\frac{2k\pi }{6}}=e^{\mathrm{i}\frac{k\pi }{3}};k=0,1,\dots ,5\right\}$. En utilisant $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ et $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ :

$${\mathbb{U}}_6=\left\{1,\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2},-1,-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$$

Somme. Notons $\omega =e^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$, de sorte que ${\mathbb{U}}_6=\{1,\omega ,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^5\}$. Comme $\omega \ne 1$, la somme des termes d'une suite géométrique donne :

$$\sum _{k=0}^5{\omega }^k=\frac{1-{\omega }^6}{1-\omega }=\frac{1-1}{1-\omega }=0$$

On peut aussi le lire sur la figure : les six racines se regroupent en trois paires de nombres opposés, $\{1,-1\}$, $\left\{\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$ et $\left\{-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$, dont chaque somme est nulle.