Lieux de points définis par un quotient

Lieux de points définis par un quotient. On note $A$ et $B$ les points d'affixes $2$ et $-1$. Pour tout point $M$ d'affixe $z\ne -1$, on pose :

$$Z=\frac{z-2}{z+1}$$

On écrit $z=x+\mathrm{i}y$ avec $x$ et $y$ réels.

• Déterminer l'ensemble ${\mathcal{E}}_1$ des points $M$ tels que $|Z|=1$.
• Déterminer l'ensemble ${\mathcal{E}}_2$ des points $M$ tels que $|Z|=2$. On montrera que c'est un cercle dont on précisera le centre et le rayon, et l'on déterminera ses points sur l'axe des réels.
• Calculer la partie imaginaire de $(z-2)(\bar{z}+1)$. En déduire l'ensemble ${\mathcal{E}}_3$ des points $M$ tels que $Z$ soit réel, et interpréter.