Racines carrées d'un nombre complexe

Posons $z=x+\mathrm{i}y$ avec $x,y\in \mathbb{R}$. Alors $z^2=x^2-y^2+2\mathrm{i}xy$, et $|Z|=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Le système du cours s'écrit :

$$z^2=Z⟺\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2=3\\ 2xy=4\\ x^2+y^2=5\end{array}$$

En additionnant la première et la troisième équation : $2x^2=8$, d'où $x^2=4$ et $x=\pm 2$. En les soustrayant : $2y^2=2$, d'où $y^2=1$ et $y=\pm 1$. La deuxième équation donne $xy=2>0$ : $x$ et $y$ sont de même signe. Seules deux combinaisons subsistent :

$$z=2+\mathrm{i}\text{ou}z=-2-\mathrm{i}$$

Vérification : $(2+\mathrm{i}{)}^2=4+4\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2=4-1+4\mathrm{i}=3+4\mathrm{i}$. Les racines carrées de $3+4\mathrm{i}$ sont donc $2+\mathrm{i}$ et son opposé $-2-\mathrm{i}$.