Racines cubiques d'un nombre complexe

Racines cubiques d'un nombre complexe. On cherche les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^3=4\sqrt{2}(-1+\mathrm{i})$. On admet que $\cos \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ et $\sin \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

• Écrire $Z=4\sqrt{2}(-1+\mathrm{i})$ sous forme exponentielle.
• En posant $z=r{e}^{\mathrm{i}\theta }$ ($r>0$), déterminer les trois solutions sous forme exponentielle.
• Donner la forme algébrique de chacune des solutions, et vérifier l'une d'elles par un calcul direct.
• Quelle est la nature du triangle formé par les images des trois solutions ?