Racines septièmes de l'unité et une somme remarquable

Racines septièmes de l'unité et une somme remarquable. On pose $\omega =e^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{7}}$, puis :

$$S=\omega +{\omega }^2+{\omega }^4\text{et}T={\omega }^3+{\omega }^5+{\omega }^6$$

• Montrer que $1+\omega +{\omega }^2+\cdots +{\omega }^6=0$. En déduire $S+T$.
• Calculer $ST$ en utilisant ${\omega }^7=1$.
• En déduire que $S$ et $T$ sont les solutions d'une équation du second degré, que l'on résoudra.
• Montrer que $T=\bar{S}$. Montrer que $\mathrm{Im}(S)=\sin \frac{2\pi }{7}+\sin \frac{4\pi }{7}-\sin \frac{\pi }{7}$, puis que $\mathrm{Im}(S)>0$. En déduire $S$ et $T$.
• En déduire la valeur de $\cos \frac{2\pi }{7}+\cos \frac{4\pi }{7}+\cos \frac{6\pi }{7}$.