Une racine imaginaire pure

Une racine imaginaire pure. On considère le polynôme $P(z)=2z^3-3z^2+8z-12$.

• Soit $y$ un réel. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de $P(\mathrm{i}y)$. En déduire que $P$ admet deux racines imaginaires pures, que l'on déterminera.
• Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $z\in \mathbb{C}$, $P(z)=(z^2+4)(az+b)$.
• Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $P(z)=0$.