Application du théorème de Gauss

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques expertes (terminale), chapitre 3 — Arithmétique

Énoncé

Application du théorème de Gauss.

Déterminer les entiers $x$ tels que $12 x \equiv 0 (mod 45)$ .

Corrigé

$45 ∣ 12 x$ . Or $pgcd (45, 12) = 3$ : écrivons $45 = 3 \times 15$ et $12 = 3 \times 4$ . La relation $45 ∣ 12 x$ équivaut à $15 ∣ 4 x$ . Comme $pgcd (15, 4) = 1$ , le théorème de Gauss donne $15 ∣ x$ . Réciproquement, si $x = 15 k$ , alors $12 x = 180 k = 45 \times 4 k$ est bien divisible par $45$ . Les solutions sont les multiples de $15$ : $x \equiv 0 (mod 15)$ .

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