Application du théorème de Gauss

$45\mid 12x$. Or $\mathrm{pgcd}(45,12)=3$ : écrivons $45=3\times 15$ et $12=3\times 4$. La relation $45\mid 12x$ équivaut à $15\mid 4x$. Comme $\mathrm{pgcd}(15,4)=1$, le théorème de Gauss donne $15\mid x$. Réciproquement, si $x=15k$, alors $12x=180k=45\times 4k$ est bien divisible par $45$. Les solutions sont les multiples de $15$ : $x\equiv 0(\mathrm{mod}15)$.