Congruences et restes

D'abord, $2026=7\times 289+3$, donc $2026\equiv 3(\mathrm{mod}7)$, et $2026^{2026}\equiv 3^{2026}(\mathrm{mod}7)$. Calculons les puissances de $3$ modulo $7$ : $3^1\equiv 3$, $3^2\equiv 2$, $3^3\equiv 6$, $3^4\equiv 4$, $3^5\equiv 5$, $3^6\equiv 1(\mathrm{mod}7)$ (conformément au petit théorème de Fermat avec $p=7$). Divisons l'exposant par $6$ : $2026=6\times 337+4$, d'où :

$$3^{2026}={\left(3^6\right)}^{337}\times 3^4\equiv 1^{337}\times 4\equiv 4(\mathrm{mod}7)$$

Le reste cherché est $\boxed{4}$.