Deux congruences simultanées

Arithmétique · PGCD, théorèmes de Bézout et de Gauss · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Deux congruences simultanées. On cherche les entiers relatifs $n$ tels que :

$n \equiv 3 (mod 5) et n \equiv 2 (mod 7)$

Montrer que si $n$ est solution, il existe des entiers $u$ et $v$ tels que $n = 5 u + 3 = 7 v + 2$ , et que $5 u - 7 v = - 1$ .
Trouver un couple d'entiers $(α, β)$ tel que $5 α - 7 β = 1$ , puis en déduire une solution particulière $n_{0}$ du problème.
Montrer que $n$ est solution si et seulement si $n \equiv n_{0} (mod 35)$ . Donner la plus petite solution positive.
Application (situation fictive) : un groupe compte entre $50$ et $100$ personnes. Rangées par $5$ , il en reste $3$ ; rangées par $7$ , il en reste $2$ ; et le groupe peut se répartir en binômes. Combien de personnes compte-t-il ?

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.