Divisibilité et combinaison linéaire

Arithmétique · niveau 2

Énoncé

Divisibilité et combinaison linéaire.

Soit $n \in Z$ . Montrer que si $d$ divise $n + 3$ et $2 n + 5$ , alors $d$ divise $1$ . Qu'en déduit-on ?

Corrigé

Si $d ∣ n + 3$ et $d ∣ 2 n + 5$ , alors $d$ divise toute combinaison linéaire, en particulier :

$2 (n + 3) - (2 n + 5) = 2 n + 6 - 2 n - 5 = 1$

Donc $d ∣ 1$ , c'est-à-dire $d = \pm 1$ . Les entiers $n + 3$ et $2 n + 5$ sont donc premiers entre eux pour tout $n \in Z$ .

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