Inverse modulaire

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques expertes (terminale), chapitre 3 — Arithmétique

Énoncé

Inverse modulaire.

Justifier que $5$ admet un inverse modulo $26$ , le déterminer, puis résoudre $5 x \equiv 3 (mod 26)$ .

Corrigé

On a $pgcd (5, 26) = 1$ ( $26 = 5 \times 5 + 1$ ), donc $5$ est inversible modulo $26$ . De la division ci-dessus : $1 = 26 - 5 \times 5$ , d'où $5 \times (- 5) \equiv 1 (mod 26)$ , soit $5^{- 1} \equiv - 5 \equiv 21 (mod 26)$ . Multiplions l'équation par $21$ :

$5 x \equiv 3 (mod 26) ⟺ x \equiv 21 \times 3 = 63 \equiv 63 - 2 \times 26 = 11 (mod 26)$

Les solutions sont les entiers $x \equiv 11 (mod 26)$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

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