Le petit théorème de Fermat cinq fois

Le petit théorème de Fermat cinq fois. On veut démontrer que, pour tout entier $n$, $2730$ divise $n^{13}-n$.

• Décomposer $2730$ en produit de facteurs premiers.
• Soit $p$ l'un de ces facteurs premiers. Vérifier que $p-1$ divise $12$, puis démontrer que $p$ divise $n^{13}-n$ pour tout entier $n$.
• Soient $m\ge 1$ un entier et $p$ un nombre premier qui ne divise pas $m$. Démontrer que si $m$ et $p$ divisent un entier $N$, alors $mp$ divise $N$.
• Conclure, puis contrôler le résultat pour $n=2$.