Problème — Le nombre de Mersenne $M_{p}$

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques expertes (terminale), chapitre 3 — Arithmétique

Énoncé

Problème — Le nombre de Mersenne $M_{p}$ .

Pour un entier $n \geq 2$ , on pose $M_{n} = 2^{n} - 1$ (nombre de Mersenne).

Calculer $M_{2}$ , $M_{3}$ , $M_{5}$ , $M_{7}$ et $M_{11}$ . Lesquels sont premiers ?
Démontrer que si $n$ n'est pas premier, alors $M_{n}$ n'est pas premier. (On pourra utiliser la factorisation de $x^{k} - 1$ .)
La réciproque est-elle vraie ?

$M_{2} = 3$ , $M_{3} = 7$ , $M_{5} = 31$ , $M_{7} = 127$ : tous premiers. $M_{11} = 2047 = 23 \times 89$ : non premier.
Supposons $n = ab$ avec $1 < a, b < n$ . Posons $x = 2^{a}$ ; la factorisation classique

$x^{b} - 1 = (x - 1) (x^{b - 1} + x^{b - 2} + \dots + x + 1)$

donne :

$M_{n} = 2^{ab} - 1 = (2^{a})^{b} - 1 = (2^{a} - 1) (2^{a (b - 1)} + \dots + 2^{a} + 1)$

Or $1 < 2^{a} - 1 < 2^{n} - 1$ : le facteur $2^{a} - 1$ est un diviseur propre de $M_{n}$ , qui n'est donc pas premier.

Non : la contraposée dit que si $M_{n}$ est premier alors $n$ est premier, mais l'exemple $n = 11$ (premier) avec $M_{11} = 2047 = 23 \times 89$ (non premier) montre que la réciproque « $n$ premier $⟹ M_{n}$ premier » est fausse.

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.