Puissances de 3 et de 5 modulo 11

Puissances de 3 et de 5 modulo 11.

• Déterminer les restes de la division par $11$ de $3^n$ pour $n=1,2,3,4,5$. En déduire que le reste de $3^n$ ne dépend que du reste de $n$ modulo $5$.
• Faire de même pour les puissances de $5$.
• Déterminer le reste de la division euclidienne de $3^{2026}+5^{2026}$ par $11$.
• Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $3^n\equiv 4(\mathrm{mod}11)$.
• Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $11$ ne divise pas $3^n+5^n$.