À l'aide d'une décomposition en éléments simples, calculer la dérivée…

La stratégie : décomposer en éléments simples, puis dériver terme à terme une brique dont la dérivée $n$-ième est explicite. Dériver $n$ fois un quotient est impraticable ; dériver $n$ fois $\frac{1}{x-a}$ est immédiat.

1) La décomposition en éléments simples. Le dénominateur se factorise : $$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$$ Deux pôles simples, donc une décomposition de la forme $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}$. On lit les coefficients par la méthode du cache (multiplier par $x-a$ et évaluer en $a$) : $$A={\frac{1}{x-2}|}_{x=1}=-1,B={\frac{1}{x-1}|}_{x=2}=1$$ d'où, pour $x\notin \{1,2\}$ : $$f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}$$ Vérification immédiate : $\frac{(x-1)-(x-2)}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{(x-1)(x-2)}$.

2) Le lemme de dérivation. Pour $a\in \mathbb{R}$ et $g_a(x)=\frac{1}{x-a}=(x-a{)}^{-1}$, montrons par récurrence que $$g_a^{(n)}(x)=\frac{(-1{)}^{n}n!}{(x-a{)}^{n+1}}$$

• $n=0$ : les deux membres valent $\frac{1}{x-a}$.
• Hérédité : si la formule vaut au rang $n$, alors en dérivant $(-1{)}^{n}n!(x-a{)}^{-(n+1)}$ on obtient $(-1{)}^{n}n!\cdot (-(n+1))(x-a{)}^{-(n+2)}=\frac{(-1{)}^{n+1}(n+1)!}{(x-a{)}^{n+2}}$, ce qui est la formule au rang $n+1$.

3) La dérivée $n$-ième. La dérivation étant linéaire, on dérive chaque élément simple séparément : $$f^{(n)}(x)=(-1{)}^{n}n!\left[\frac{1}{(x-2{)}^{n+1}}-\frac{1}{(x-1{)}^{n+1}}\right]$$ valable pour tout $n\in \mathbb{N}$ et tout $x\in \mathbb{R}\setminus \{1,2\}$.

⚠️ Le signe $(-1{)}^n$ n'est pas un détail cosmétique. Il vient du lemme, et l'oublier donne une formule fausse dès $n=1$ : elle prédirait $f^{\prime }(3)=+\frac{3}{4}$ alors que $f^{\prime }(3)=-\frac{3}{4}$. ⚠️ Attention également à l'ordre des deux termes : c'est $\frac{1}{(x-2{)}^{n+1}}$ qui porte le signe $+$, conformément à la décomposition — les intervertir change le signe global.

Pourquoi la décomposition est indispensable : sur la forme initiale, la formule de Leibniz appliquée à $f\cdot (x^2-3x+2)=1$ donne une récurrence, mais aucune expression close. La décomposition remplace un quotient par une somme de puissances entières, seul objet dont on sache écrire toutes les dérivées.

Contrôle numérique (dérivées calculées directement, puis comparées à la formule, en $x=3$ où $f(3)=\frac{1}{2}$) :

$n$	$f^{(n)}(3)$ direct	$(-1{)}^{n}n!\left[\frac{1}{1^{n+1}}-\frac{1}{2^{n+1}}\right]$
$1$	$-\frac{3}{4}$	$-1\times \left(1-\frac{1}{4}\right)=-\frac{3}{4}$
$2$	$\frac{7}{4}$	$2\times \left(1-\frac{1}{8}\right)=\frac{7}{4}$
$3$	$-\frac{45}{8}$	$-6\times \left(1-\frac{1}{16}\right)=-\frac{45}{8}$

(Concordance vérifiée formellement jusqu'à $n=7$, et numériquement en $x=\frac{1}{2}$, $\frac{5}{2}$ et $3$.)

Ce que l'exercice installe. La décomposition en éléments simples n'est pas un exercice de calcul gratuit : c'est la mise sous forme canonique pour un traitement analytique. La même décomposition sert à primitiver (logarithmes), à sommer des séries télescopiques, et ici à dériver indéfiniment.