Exercices corrigés — Polynômes et fractions rationnelles (mathématiques MPSI)

29 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

B. Division euclidienne et racines

• Division euclidienne Exercice classique
• Le reste se lit aux racines du diviseur Exercice de TD
• L'équation $P(X^2)=P(X)P(X+1)$ Exercice de TD
• Soit P ∈ ℝ[X] tel que P(k) = 0 pour tout k ∈ ℕ. Montrer que P = 0. Le… Exercice classique
• Montrer que X² + X + 1 divise X³ⁿ⁺² + X³ᵐ⁺¹ + X³ᵏ pour tous n, m, k ∈… Application directe du cours
• Méthode de Horner Application directe du cours

A. Degré et opérations

• L'opérateur de différence $\Delta P=P(X+1)-P(X)$ Exercice de TD
• Trouver tous les polynômes P ∈ ℝ[X] tels que P(X²) = (X² + 1 )P(X). Application directe du cours

C. Relations coefficients-racines

• Les sommes de Newton d'une équation cubique Exercice de TD
• Soient a et b les racines de X² - sX + p (avec p ≠ 0). Exprimer a² +… Exercice classique
• Viète et racines en progression arithmétique Application directe du cours

D. Dérivation, Taylor, multiplicités

• Racines simples et $P\wedge P^{\prime }=1$ Exercice de TD
• Multiplicité d'une racine Application directe du cours
• P'/P et racines de la dérivée Application directe du cours

F. Factorisations

• Un polynôme positif sur $\mathbb{R}$ est somme de deux carrés Exercice de TD
• Factoriser X⁶ - 1 dans ℂ[X], puis dans ℝ[X]. Application directe du cours
• Identité de Sophie Germain. Factoriser X⁴ + 4 dans ℝ[X]. En déduire… Application directe du cours
• Racine évidente et factorisation Application directe du cours
• Factorisation réelle de X⁴+X²+1 Application directe du cours

G. Interpolation de Lagrange

• $P(k)=\frac{1}{k+1}$ pour $k=0,\dots ,n$ : que vaut $P(n+1)$ ? Exercice de TD
• Problème — Les polynômes de Tchebychev et le théorème de Tchebychev Exercice de TD
• Interpolation de Lagrange Application directe du cours

H. Fractions rationnelles et éléments simples

• $\frac{1}{X}$ n'est la dérivée d'aucune fraction rationnelle Exercice de TD
• Le théorème de Gauss–Lucas Exercice de TD
• Décomposition en éléments simples Application directe du cours
• À l'aide d'une décomposition en éléments simples, calculer la dérivée… Application directe du cours

E. Arithmétique de $\mathbb{K}[X]$

• Montrer que pour m, n ∈ ℕ* : (Xⁿ - 1 ) ∧ (Xᵐ - 1 ) = X^n ∧ m - 1. Application directe du cours
• Montrer que dans ℂ[X], A et B sont premiers entre eux si et seulement… Application directe du cours
• PGCD par l'algorithme d'Euclide Application directe du cours

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