mathématiques MPSI · Chapitre 10 · Application directe du cours

P'/P et racines de la dérivée

Polynômes et fractions rationnelles · D. Dérivation, Taylor, multiplicités · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $P \in R [X]$ scindé sur $R$ à racines simples $a_{1} < \dots < a_{n}$ . Justifier $\frac{P ^{'}}{P} = \sum \frac{1}{X - a _{i}}$ , puis montrer que $P^{'}$ est scindé à racines simples, exactement une dans chaque $] a_{i}, a_{i + 1} [$ .

Corrigé

C'est la décomposition de $\frac{P ^{'}}{P}$ du cours, avec toutes les multiplicités égales à $1$ .

Par Rolle (chapitre 6) : $P$ s'annule en $a_{i}$ et $a_{i + 1}$ : il existe $c_{i} \in] a_{i}, a_{i + 1} [$ avec $P^{'} (c_{i}) = 0$ . Cela fournit $n - 1$ racines distinctes de $P^{'}$ , de degré $n - 1$ : il n'y en a pas d'autres, elles sont simples, et $P^{'}$ est scindé. (L'analyse au service de l'algèbre : Rolle localise les racines de $P^{'}$ entre celles de $P$ .)

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