Polynômes et fractions rationnelles

Cours · mathématiques MPSI, chapitre 10 · MPSI (classe préparatoire scientifique) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La courbe d'un polynôme de degré 3 et ses trois racines réelles.

10.1 Introduction et motivation

Les polynômes sont des objets particulièrement riches, dont l'étude interagit avec presque tous les thèmes du semestre : les équations algébriques prolongent le chapitre sur les nombres complexes ; l'arithmétique de $K [X]$ se développe selon le plan déjà utilisé pour $Z$ — mêmes énoncés, mêmes démonstrations, ce qui autorise un exposé allégé et révèle la puissance du point de vue structurel du chapitre 8 ; l'interpolation de Lagrange reconstitue un polynôme à partir de ses valeurs et ouvre sur la théorie de l'approximation, au cœur du calcul scientifique.

Dans tout le chapitre, le corps de base $K$ est $R$ ou $C$ .

10.2 L'anneau des polynômes à une indéterminée

Définition 10.1Polynômes

Un polynôme à coefficients dans $K$ est une expression

$P = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0}, a_{i} \in K,$

où $X$ est l'indéterminée. L'ensemble des polynômes est noté $K [X]$ ; muni de l'addition et de la multiplication usuelles (on développe et on regroupe par degré), c'est un anneau commutatif. (La construction rigoureuse — suites de coefficients presque toutes nulles — est hors programme.)

Définition 10.2Degré, coefficient dominant

Si $P = a_{n} X^{n} + \dots + a_{0}$ avec $a_{n} \neq = 0$ , l'entier $n$ est le degré de $P$ , noté $de g P$ ; $a_{n}$ est le coefficient dominant, et $P$ est unitaire si $a_{n} = 1$ . Par convention, $de g 0 = - \infty$ . On note $K_{n} [X]$ l'ensemble des polynômes de degré au plus $n$ .

Proposition 10.3Degré d'une somme, d'un produit

Pour tous $P, Q \in K [X]$ :

$de g (P + Q) \leq max (de g P, de g Q) (e ˊ galit e ˊ si de g P \neq = de g Q),$

$de g (P Q) = de g P + de g Q .$

En conséquence, l'anneau $K [X]$ est intègre : si $P Q = 0$ , alors $P = 0$ ou $Q = 0$ .

Démonstration

Si $P$ et $Q$ sont non nuls, de coefficients dominants $a_{n}$ et $b_{m}$ , le coefficient de $X^{n + m}$ dans $P Q$ est $a_{n} b_{m} \neq = 0$ ( $K$ est un corps, donc intègre) : ainsi $de g (P Q) = n + m$ et $P Q \neq = 0$ .

Définition 10.4Composition

La composée de $P = \sum a_{k} X^{k}$ par $Q$ est $P \circ Q = \sum a_{k} Q^{k}$ (on « substitue » $Q$ à $X$ ). Si $P$ et $Q$ sont non constants : $de g (P \circ Q) = de g P \times de g Q$ .

10.3 Divisibilité et division euclidienne

Définition 10.5Divisibilité

$A$ divise $B$ dans $K [X]$ , noté $A ∣ B$ , s'il existe $C \in K [X]$ tel que $B = A C$ .

Proposition 10.6Polynômes associés

$A ∣ B$ et $B ∣ A$ si et seulement si $A$ et $B$ sont associés, c'est-à-dire $B = λ A$ avec $λ \in K^{*}$ . (Les inversibles de $K [X]$ sont les constantes non nulles — comparer avec $Z^{\times} = {\pm 1}$ : les associés y étaient $\pm a$ .)

◆Théorème 10.7Division euclidienne

Soient $A, B \in K [X]$ avec $B \neq = 0$ . Il existe un unique couple $(Q, R)$ de polynômes tel que :

$A = B Q + R et de g R < de g B .$

$Q$ est le quotient, $R$ le reste. (Le degré joue le rôle que jouait la valeur absolue dans $Z$ .)

Démonstration

Existence, par l'algorithme : tant que $de g A \geq de g B$ , on retranche à $A$ le multiple $\frac{a _{n}}{b _{m}} X^{n - m} B$ (qui a même terme dominant), ce qui fait strictement baisser le degré ; on s'arrête quand le reste a un degré $< de g B$ . Unicité : si $B Q + R = B Q^{'} + R^{'}$ , alors $B (Q - Q^{'}) = R^{'} - R$ avec $de g (R^{'} - R) < de g B$ ; si $Q \neq = Q^{'}$ , le membre de gauche a un degré $\geq de g B$ — contradiction. Donc $Q = Q^{'}$ puis $R = R^{'}$ .

Exemple 10.8Division posée

Divisons $A = X^{4} + X^{3} - 2 X + 1$ par $B = X^{2} + 1$ :

$X^{4} + X^{3} - 2 X + 1 = (X^{2} + 1) (X^{2} + X - 1) + (- 3 X + 2) .$

(On retranche successivement $X^{2} B$ , puis $X B$ , puis $- B$ ; le reste $- 3 X + 2$ est de degré $1 < 2$ .)

10.4 Fonctions polynomiales et racines

10.4.1 Racines et divisibilité

Définition 10.9Fonction polynomiale, racine

À tout $P = \sum a_{k} X^{k} \in K [X]$ on associe la fonction polynomiale $P : x \mapsto \sum a_{k} x^{k}$ de $K$ dans $K$ (on note simplement $P (x)$ ). Une racine (ou zéro) de $P$ est un élément $a \in K$ tel que $P (a) = 0$ .

◆Théorème 10.10Racine et divisibilité

$a$ est racine de $P$ si et seulement si $(X - a) ∣ P$ .

Démonstration

Divisons $P$ par $X - a$ : $P = (X - a) Q + R$ avec $de g R < 1$ , donc $R$ constant. En évaluant en $a$ : $R = P (a)$ . Ainsi $P = (X - a) Q + P (a)$ , et $P (a) = 0 ⟺ (X - a) ∣ P$ . (C'est la version polynomiale de la factorisation vue au chapitre 3 pour les équations algébriques.)

ImportantMéthode de Horner

Pour évaluer $P = a_{n} X^{n} + \dots + a_{0}$ en $x$ , on écrit :

$P (x) = (\dots ((a_{n} x + a_{n - 1}) x + a_{n - 2}) x + \dots) x + a_{0} :$

on initialise $b_{n} = a_{n}$ , puis $b_{k} = b_{k + 1} x + a_{k}$ ; alors $P (x) = b_{0}$ , en seulement $n$ multiplications et $n$ additions (contre $\sim \frac{n ^{2}}{2}$ multiplications pour la méthode naïve). Bonus : les $b_{n}, \dots, b_{1}$ sont les coefficients du quotient de $P$ par $X - x$ , et $b_{0}$ le reste — Horner évalue et divise à la fois.

◆Théorème 10.11Nombre de racines

Un polynôme non nul de degré $n$ admet au plus $n$ racines (comptées sans multiplicité).

Démonstration

Par récurrence sur $n$ : si $a$ est racine de $P$ , alors $P = (X - a) Q$ avec $de g Q = n - 1$ ; toute autre racine $b \neq = a$ vérifie $(b - a) Q (b) = 0$ , donc $Q (b) = 0$ ( $K$ intègre) : les racines de $P$ sont $a$ et celles de $Q$ , au plus $1 + (n - 1) = n$ .

↳Corollaire 10.12Le polynôme est déterminé par sa fonction

Si deux polynômes coïncident en une infinité de points (par exemple : $P (x) = Q (x)$ pour tout $x \in K$ ), alors $P = Q$ (égalité des coefficients). En effet $P - Q$ a une infinité de racines, donc est le polynôme nul. On peut ainsi identifier polynômes et fonctions polynomiales.

10.4.2 Multiplicité et polynômes scindés

Définition 10.13Multiplicité d'une racine

$a$ est racine de $P$ de multiplicité $m \geq 1$ si $(X - a)^{m} ∣ P$ et $(X - a)^{m + 1} ∤ P$ , c'est-à-dire $P = (X - a)^{m} Q$ avec $Q (a) \neq = 0$ . ( $m = 1$ : racine simple ; $m = 2$ : double…)

Définition 10.14Polynôme scindé

$P \in K [X]$ de degré $n \geq 1$ est scindé sur $K$ s'il s'écrit comme produit de facteurs de degré $1$ :

$P = a_{n} (X - x_{1}) (X - x_{2}) \dots (X - x_{n}),$

les $x_{i}$ étant les racines, répétées selon leur multiplicité.

◆Théorème 10.15Relations entre coefficients et racines (formules de Viète)

Si $P = a_{n} X^{n} + \dots + a_{0}$ est scindé de racines $x_{1}, \dots, x_{n}$ (avec multiplicité), alors :

$x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = - \frac{a _{n - 1}}{a _{n}}, x_{1} x_{2} \dots x_{n} = (- 1)^{n} \frac{a _{0}}{a _{n}},$

et plus généralement la somme des produits $k$ à $k$ des racines vaut $(- 1)^{k} \frac{a _{n - k}}{a _{n}}$ . (Somme et produit sont à connaître ; les autres se retrouvent rapidement en développant.)

Démonstration (Idée de la démonstration)

On développe $a_{n} (X - x_{1}) \dots (X - x_{n})$ : le coefficient de $X^{n - 1}$ est $- a_{n} (x_{1} + \dots + x_{n})$ , le coefficient constant est $a_{n} (- 1)^{n} x_{1} \dots x_{n}$ , et on identifie. Pour $n = 2$ , on retrouve somme $= - \frac{b}{a}$ et produit $= \frac{c}{a}$ (chapitre 3).

10.5 Dérivation

Définition 10.16Dérivée formelle

La dérivée formelle de $P = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} X^{k}$ est :

$P^{'} = k = 1 \sum n k a_{k} X^{k - 1} .$

C'est une définition purement algébrique (aucune limite !) ; pour $K = R$ , elle coïncide avec la dérivée de la fonction polynomiale associée. On définit de même les dérivées successives $P^{(k)}$ .

Proposition 10.17Opérations

$(λ P + μ Q)^{'} = λ P^{'} + μ Q^{'}$ , $(P Q)^{'} = P^{'} Q + P Q^{'}$ , et la formule de Leibniz :

$(P Q)^{(n)} = k = 0 \sum n (k n) P^{(k)} Q^{(n - k)} .$

Si $de g P = n$ , alors $de g P^{'} = n - 1$ , $P^{(n)} = n! a_{n}$ et $P^{(n + 1)} = 0$ .

◆Théorème 10.18Formule de Taylor polynomiale

Pour tout $P \in K_{n} [X]$ et tout $a \in K$ :

$P = k = 0 \sum n \frac{P ^{(k)} ( a )}{k !} (X - a)^{k} .$

(Pour les polynômes, la formule de Taylor est une identité exacte, sans reste.)

Exercices du chapitre

L'opérateur de différence $Δ P = P (X + 1) - P (X)$ corrigé
Le reste se lit aux racines du diviseur corrigé
L'équation $P (X^{2}) = P (X) P (X + 1)$ corrigé
Les sommes de Newton d'une équation cubique corrigé
Racines simples et $P \land P^{'} = 1$ corrigé
Un polynôme positif sur $R$ est somme de deux carrés corrigé

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