Polynômes et fractions rationnelles

Pour tous $P,Q\in \mathbb{K}[X]$ :

$$\mathrm{deg}(P+Q)\le \max (\mathrm{deg}P,\mathrm{deg}Q)(\text{eˊgaliteˊ si }\mathrm{deg}P\ne \mathrm{deg}Q),$$

$$\mathrm{deg}(PQ)=\mathrm{deg}P+\mathrm{deg}Q.$$

En conséquence, l'anneau $\mathbb{K}[X]$ est intègre : si $PQ=0$, alors $P=0$ ou $Q=0$.

$A\mid B$ et $B\mid A$ si et seulement si $A$ et $B$ sont associés, c'est-à-dire $B=\lambda A$ avec $\lambda \in {\mathbb{K}}^{\ast }$. (Les inversibles de $\mathbb{K}[X]$ sont les constantes non nulles — comparer avec ${\mathbb{Z}}^{\times }=\{\pm 1\}$ : les associés y étaient $\pm a$.)

Soient $A,B\in \mathbb{K}[X]$ avec $B\ne 0$. Il existe un unique couple $(Q,R)$ de polynômes tel que :

$$A=BQ+R\text{et}\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}B.$$

$Q$ est le quotient, $R$ le reste. (Le degré joue le rôle que jouait la valeur absolue dans $\mathbb{Z}$.)

Divisons $A=X^4+X^3-2X+1$ par $B=X^2+1$ :

$$X^4+X^3-2X+1=(X^2+1)(X^2+X-1)+(-3X+2).$$

(On retranche successivement $X^{2}B$, puis $XB$, puis $-B$ ; le reste $-3X+2$ est de degré $1<2$.)

$a$ est racine de $P$ si et seulement si $(X-a)\mid P$.

Un polynôme non nul de degré $n$ admet au plus $n$ racines (comptées sans multiplicité).

Si deux polynômes coïncident en une infinité de points (par exemple : $P(x)=Q(x)$ pour tout $x\in \mathbb{K}$), alors $P=Q$ (égalité des coefficients). En effet $P-Q$ a une infinité de racines, donc est le polynôme nul. On peut ainsi identifier polynômes et fonctions polynomiales.

Si $P=a_n{X}^n+\cdots +a_0$ est scindé de racines $x_1,\dots ,x_n$ (avec multiplicité), alors :

$$x_1+x_2+\cdots +x_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n},x_1{x}_2\cdots x_n=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n},$$

et plus généralement la somme des produits $k$ à $k$ des racines vaut $(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$. (Somme et produit sont à connaître ; les autres se retrouvent rapidement en développant.)

$(\lambda P+\mu Q{)}^{\prime }=\lambda P^{\prime }+\mu Q^{\prime }$,   $(PQ{)}^{\prime }=P^{\prime }Q+P{Q}^{\prime }$,   et la formule de Leibniz :

$$(PQ{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})P^{(k)}{Q}^{(n-k)}.$$

Si $\mathrm{deg}P=n$, alors $\mathrm{deg}{P}^{\prime }=n-1$, $P^{(n)}=n!a_n$ et $P^{(n+1)}=0$.

Pour tout $P\in {\mathbb{K}}_n[X]$ et tout $a\in \mathbb{K}$ :

$$P=\sum _{k=0}^n\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a{)}^k.$$

(Pour les polynômes, la formule de Taylor est une identité exacte, sans reste.)

$a$ est racine de $P$ de multiplicité exactement $m$ si et seulement si :

$$P(a)=P^{\prime }(a)=\cdots =P^{(m-1)}(a)=0\text{et}{P}^{(m)}(a)\ne 0.$$

$P=X^3-3X+2$ : $P(1)=0$, $P^{\prime }(X)=3X^2-3$, $P^{\prime }(1)=0$, $P^{\prime \prime }(X)=6X$, $P^{\prime \prime }(1)=6\ne 0$ : $1$ est racine double, et en effet $P=(X-1{)}^2(X+2)$.

$A=X^3-1$, $B=X^2-1$ : $X^3-1=X(X^2-1)+(X-1)$, puis $X^2-1=(X+1)(X-1)+0$. Le dernier reste non nul est $X-1$, unitaire : $\left(X^3-1\right)\wedge \left(X^2-1\right)=X-1$.

Tous les énoncés du chapitre 7 s'adaptent, avec les mêmes démonstrations :

• Relation de Bézout : il existe $U,V\in \mathbb{K}[X]$ tels que $AU+BV=A\wedge B$ (algorithme d'Euclide étendu, par remontée) ;
• PPCM : multiple commun unitaire de degré minimal, noté $A\vee B$ ; les multiples communs sont ses multiples ;
• $A$ et $B$ sont premiers entre eux si $A\wedge B=1$ ; théorème de Bézout : $A\wedge B=1⟺\exists U,V,AU+BV=1$ ;
• Lemme de Gauss : si $A\mid BC$ et $A\wedge B=1$, alors $A\mid C$ ; si $A$ et $B$ premiers entre eux divisent $C$, alors $AB\mid C$ ;
• PGCD d'un nombre fini de polynômes, Bézout généralisé ; premiers entre eux dans leur ensemble vs deux à deux (la seconde propriété est plus forte).

Tout polynôme non constant de $\mathbb{C}[X]$ admet au moins une racine dans $\mathbb{C}$. (La démonstration est hors programme.) En conséquence, tout polynôme non constant de $\mathbb{C}[X]$ est scindé sur $\mathbb{C}$.

C'est pour cela que $\mathbb{C}$ est dit algébriquement clos : la quête historique des solutions (chapitre 3 : degré 2, racines $n$-ièmes) s'achève ici — toute équation algébrique de degré $n$ a exactement $n$ solutions complexes, comptées avec multiplicité.

Les polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ (non constants, non produits de deux polynômes non constants) sont exactement les polynômes de degré 1. Tout $P\in \mathbb{C}[X]$ non constant se décompose de façon unique (à l'ordre près) :

$$P=\lambda (X-a_1{)}^{m_1}(X-a_2{)}^{m_2}\cdots (X-a_r{)}^{m_r},$$

où $\lambda$ est le coefficient dominant, les $a_i$ les racines distinctes et $m_i$ leurs multiplicités ($\sum m_i=\mathrm{deg}P$).

• Divisibilité par les racines : $A\mid B$ dans $\mathbb{C}[X]$ si et seulement si toute racine de $A$ est racine de $B$ avec une multiplicité au moins égale.
• Deux polynômes de $\mathbb{C}[X]$ sont premiers entre eux si et seulement s'ils n'ont aucune racine commune.

Les racines de $X^n-1$ sont les $n$ racines $n$-ièmes de l'unité (chapitre 3), toutes simples :

$$X^n-1=\prod _{k=0}^{n-1}\left(X-e^{2ik\pi /n}\right).$$

Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ (coefficients réels). Si $z\in \mathbb{C}$ est racine de $P$ de multiplicité $m$, alors $\overline{z}$ est aussi racine de $P$, de même multiplicité.

Les polynômes irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ sont :

• les polynômes de degré 1 ;
• les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif (sans racine réelle).

Tout $P\in \mathbb{R}[X]$ non constant se décompose de façon unique :

$$P=\lambda \prod _i(X-a_i{)}^{m_i}\prod _j{\left(X^2+b_{j}X+c_j\right)}^{n_j},b_j^2-4c_j<0,$$

les facteurs quadratiques provenant du regroupement des racines complexes conjuguées : $(X-z)(X-\overline{z})=X^2-2\mathrm{Re}(z)X+|z{|}^2$.

Les racines complexes sont $e^{\pm i\pi /4}$ et $e^{\pm 3i\pi /4}$ (racines quatrièmes de $-1$, chapitre 3). En regroupant les paires conjuguées, avec $2\cos \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}$ :

$$X^4+1=\left(X^2-\sqrt{2}X+1\right)\left(X^2+\sqrt{2}X+1\right):$$

aucune racine réelle, mais une factorisation réelle quand même — un polynôme réel sans racine réelle n'est pas pour autant irréductible dès que son degré dépasse $2$.

Soient $x_1,\dots ,x_n$ des éléments deux à deux distincts de $\mathbb{K}$ et $y_1,\dots ,y_n\in \mathbb{K}$. Il existe un unique polynôme $P\in {\mathbb{K}}_{n-1}[X]$ tel que $P(x_i)=y_i$ pour tout $i$, donné par :

$$P=\sum _{i=1}^n{y}_i{L}_i,\text{ouˋ}{L}_i=\prod _{j\ne i}\frac{X-x_j}{x_i-x_j}$$

sont les polynômes de Lagrange associés aux $x_i$ (caractérisés par $L_i(x_k)={\delta }_{i,k}$).

Les polynômes $Q\in \mathbb{K}[X]$ (de degré quelconque) tels que $Q(x_i)=y_i$ pour tout $i$ sont exactement les :

$$Q=P+\left(\prod _{i=1}^n(X-x_i)\right)R,R\in \mathbb{K}[X],$$

où $P$ est l'interpolateur de degré $\le n-1$. (En effet, $Q-P$ s'annule en chaque $x_i$, donc est divisible par $\prod (X-x_i)$.)

L'interpolation est le pont entre l'algèbre et la théorie de l'approximation : remplacer une fonction compliquée par le polynôme qui coïncide avec elle en $n$ points est l'idée de base des méthodes numériques (la majoration de l'erreur d'interpolation fait intervenir $f^{(n)}$ et le produit $\prod (x-x_i)$).

Toute fraction $F=\frac{P}{Q}$ s'écrit de façon unique $F=E+\frac{R}{Q}$ avec $E\in \mathbb{K}[X]$ et $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}Q$ : $E$ est la partie entière de $F$, obtenue par la division euclidienne $P=QE+R$. ($E=0$ dès que $\mathrm{deg}F<0$.)

Soit $F=\frac{P}{Q}$ irréductible.

• Sur $\mathbb{C}$ : si $Q={\prod }_i(X-{\lambda }_i{)}^{m_i}$, alors $F$ s'écrit de façon unique

$$F=E+\sum _i\left(\frac{c_{i,1}}{X-{\lambda }_i}+\frac{c_{i,2}}{(X-{\lambda }_i{)}^2}+\cdots +\frac{c_{i,m_i}}{(X-{\lambda }_i{)}^{m_i}}\right),$$

où $E$ est la partie entière et les $c_{i,k}\in \mathbb{C}$.

• Sur $\mathbb{R}$ : même énoncé, avec en outre des éléments simples de seconde espèce $\frac{aX+b}{{\left(X^2+pX+q\right)}^k}$ pour chaque facteur quadratique irréductible de $Q$.

(Démonstration hors programme ; toute technicité dans les exemples est exclue.)

$$\frac{1}{X(X+1)}=\frac{1}{X}-\frac{1}{X+1}$$

— la décomposition qui rendait télescopique la somme $\sum \frac{1}{k(k+1)}$ au chapitre 2. De même :

$$\frac{1}{X^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{X-1}-\frac{1}{X+1}\right)\left(c=\frac{1}{Q^{\prime }(\pm 1)}=\pm \frac{1}{2}\right).$$

Décomposons $F=\frac{1}{X(X^2+1)}=\frac{a}{X}+\frac{bX+c}{X^2+1}$. Le pôle simple $0$ donne $a=\frac{1}{0^2+1}=1$ ; en multipliant par $X$ et en faisant $x\to +\infty$ : $0=a+b$, donc $b=-1$ ; l'imparité de $F$ donne $c=0$ :

$$\frac{1}{X(X^2+1)}=\frac{1}{X}-\frac{X}{X^2+1}.$$

Application (primitives, chapitre 4) : ${\int }^x\frac{\mathrm{d}t}{t(t^2+1)}=\ln |x|-\frac{1}{2}\ln \left(x^2+1\right)+C$.

Si $P=\lambda {\prod }_{i=1}^r(X-a_i{)}^{m_i}$ est scindé, alors :

$$\frac{P^{\prime }}{P}=\sum _{i=1}^r\frac{m_i}{X-a_i}.$$

La décomposition en éléments simples rend immédiates les dérivées successives : de $\frac{1}{X-\lambda }$, la dérivée $k$-ième vaut $\frac{(-1{)}^{k}k!}{(X-\lambda {)}^{k+1}}$, d'où par exemple :

$${\left(\frac{1}{X^2-1}\right)}^{(k)}=\frac{(-1{)}^{k}k!}{2}\left(\frac{1}{(X-1{)}^{k+1}}-\frac{1}{(X+1{)}^{k+1}}\right).$$

Effectuer la division euclidienne de $A=X^4+X^3-2X+1$ par $B=X^2+X+1$.

Évaluer $P=2X^3-3X^2+X-5$ en $x=2$ par la méthode de Horner, et en déduire le quotient de $P$ par $X-2$.

Factoriser $P=X^3-6X^2+11X-6$ dans $\mathbb{R}[X]$.

Montrer que $1$ est racine de $P=X^4-5X^3+9X^2-7X+2$ et déterminer sa multiplicité, puis factoriser $P$.

Résoudre $X^3-6X^2+3X+10=0$ sachant que les racines sont en progression arithmétique.

Calculer $\left(X^4-1\right)\wedge \left(X^3-1\right)$, puis retrouver le résultat par les racines complexes.

Factoriser $P=X^4+X^2+1$ en produit d'irréductibles de $\mathbb{R}[X]$.

Déterminer l'unique polynôme $P\in {\mathbb{R}}_2[X]$ tel que $P(0)=1$, $P(1)=0$ et $P(2)=3$, puis décrire tous les polynômes vérifiant ces trois conditions.

Décomposer en éléments simples sur $\mathbb{R}$ la fraction $F=\frac{X^2+1}{X(X-1{)}^2}$, et en déduire une primitive de la fonction associée sur $]1,+\infty [$.

Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ scindé sur $\mathbb{R}$ à racines simples $a_1<a_2<\cdots <a_n$ ($n\ge 2$).

• Justifier la formule $\frac{P^{\prime }}{P}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{X-a_i}$.
• Montrer que $P^{\prime }$ est lui aussi scindé sur $\mathbb{R}$, à racines simples, exactement une dans chaque intervalle $]a_i,a_{i+1}[$.

• $\mathbb{K}[X]$ : anneau commutatif intègre ; $\mathrm{deg}(P+Q)\le \max$, $\mathrm{deg}(PQ)=\mathrm{deg}P+\mathrm{deg}Q$ ($\mathrm{deg}0=-\infty$) ; ${\mathbb{K}}_n[X]$ ; composition. Division euclidienne : $A=BQ+R$, $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}B$ (le degré remplace la valeur absolue) ; associés : $B=\lambda A$.
• Racines : $P(a)=0⟺(X-a)\mid P$ ; Horner ($n$ multiplications, et le quotient gratuit) ; au plus $\mathrm{deg}P$ racines $\Rightarrow$ un polynôme est déterminé par sa fonction ; multiplicité ; scindé ; Viète : somme $=-\frac{a_{n-1}}{a_n}$, produit $=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}$.
• Dérivée formelle : Leibniz ; Taylor exact $P=\sum \frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a{)}^k$ ; multiplicité $m$ $⟺$ $P(a)=\cdots =P^{(m-1)}(a)=0\ne P^{(m)}(a)$.
• Arithmétique de $\mathbb{K}[X]$ = celle de $\mathbb{Z}$ (dictionnaire : degré $\leftrightarrow$ valeur absolue, unitaire $\leftrightarrow$ positif) : Euclide, $A\wedge B$ unitaire, Bézout (étendu), PPCM, premiers entre eux, Gauss, familles finies.
• Irréductibles : d'Alembert-Gauss (admis) $\Rightarrow$ sur $\mathbb{C}$, irréductibles = degré $1$, tout polynôme scindé, $A\wedge B=1⟺$ pas de racine commune, $X^n-1=\prod (X-e^{2ik\pi /n})$ ; sur $\mathbb{R}$ : degré $1$ et degré $2$ à $\Delta <0$, racines conjuguées de même multiplicité, regroupement $(X-z)(X-\overline{z})$.
• Lagrange : unique $P\in {\mathbb{K}}_{n-1}[X]$ avec $P(x_i)=y_i$, $P=\sum y_i{L}_i$, $L_i={\prod }_{j\ne i}\frac{X-x_j}{x_i-x_j}$ ; tous les interpolants : $P+\prod (X-x_i)R$.
• $\mathbb{K}(X)$ : corps ; forme irréductible, degré, zéros et pôles, partie entière (division euclidienne). Éléments simples (admis) : sur $\mathbb{C}$, paquets $\frac{c_k}{(X-\lambda {)}^k}$ ; sur $\mathbb{R}$, en plus $\frac{aX+b}{(X^2+pX+q{)}^k}$ ; pôle simple : $c=\frac{P(\lambda )}{Q^{\prime }(\lambda )}$ ; applications : primitives, dérivées $k$-ièmes ; $\frac{P^{\prime }}{P}=\sum \frac{m_i}{X-a_i}$.