Analyse asymptotique

Cours · mathématiques MPSI, chapitre 11 · MPSI (classe préparatoire scientifique) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La fonction sinus et ses approximations de Taylor d'ordre 1 et 3 au voisinage de 0.

11.1 Introduction et motivation

L'objectif de ce chapitre est d'introduire les techniques asymptotiques fondamentales, dans les cadres continu (fonctions) et discret (suites). Il s'agit de répondre à des questions du type : à quoi ressemble $f (x)$ quand $x$ s'approche de $a$ ? à quelle vitesse $u_{n}$ tend-elle vers sa limite ? — la problématique de la vitesse de convergence, introduite au premier semestre, trouve ici ses outils définitifs.

Les développements limités sont les principaux outils du calcul asymptotique : on les traite d'abord pour les fonctions, afin d'en disposer au plus tôt. La priorité est donnée à la pratique : il faut connaître les développements usuels et savoir mener rapidement des calculs simples — les situations dont la gestion manuelle ne relèverait que de la technicité se traitent à l'aide d'outils logiciels. Les fonctions et suites sont à valeurs réelles ou complexes, le cas réel jouant le rôle prépondérant.

11.2 Relations de comparaison : cas des fonctions

11.2.1 Domination, négligeabilité, équivalence

Définition 11.1Les trois relations de comparaison

Soient $f$ et $g$ définies au voisinage de $a \in R$ , la fonction $g$ ne s'annulant pas au voisinage de $a$ (sauf peut-être en $a$ ). On dit que :

$f$ est dominée par $g$ en $a$ , noté $f (x) x \to a = O (g (x))$ , si le quotient $\frac{f}{g}$ est borné au voisinage de $a$ ;
$f$ est négligeable devant $g$ en $a$ , noté $f (x) x \to a = o (g (x))$ , si $\frac{f ( x )}{g ( x )} x \to a 0$ ;
$f$ est équivalente à $g$ en $a$ , noté $f (x) x \to a \sim g (x)$ , si $\frac{f ( x )}{g ( x )} x \to a 1$ .

Proposition 11.2Liens entre les relations

$f \sim g ⟺ f = g + o (g), f \sim g ⟹ f = O (g), f = o (g) ⟹ f = O (g) .$

ImportantLa forme

f = g + o (g)

: la bonne écriture pour calculer

L'équivalence $f a \sim g$ se lit de deux façons : $\frac{f}{g} \to 1$ (commode pour vérifier), et

$f (x) = g (x) + o (g (x)) (commode pour calculer) :$

« $f$ , c'est $g$ plus une erreur négligeable devant $g$ ». C'est cette seconde forme — une égalité qu'on peut substituer, additionner, intégrer dans un calcul — qui fait tout le travail dans la pratique, et que généraliseront les développements limités.

Exemple 11.3

$sin x 0 \sim x$ (taux d'accroissement de $sin$ en $0$ ) ; $x^{2} + 3 x + \infty \sim x^{2}$ mais $x^{2} + 3 x 0 \sim 3 x$ : toujours préciser le point ! Un polynôme est équivalent à son terme de plus haut degré en $\pm \infty$ , de plus bas degré en $0$ .

iRemarqueÉtude locale en

a \neq = 0

Pour étudier $f$ au voisinage de $a$ réel non nul, on se ramène systématiquement en $0$ : on pose $x = a + h$ et on étudie $h \mapsto f (a + h)$ quand $h \to 0$ . Tous les outils (équivalents usuels, développements limités) sont calibrés en $0$ .

Proposition 11.4Croissances comparées en langage

o

Pour $α, β, γ > 0$ :

$ln^{β} (x) + \infty = o (x^{α}), x^{α} + \infty = o (e^{γ x}), ∣ ln x ∣^{β} 0^{+} = o (x^{- α}) .$

(Ce sont les croissances comparées du chapitre 4, réécrites avec le symbole $o$ .)

11.2.2 Règles de calcul

◆Théorème 11.5Manipulation des équivalents

Si $f_{1} \sim g_{1}$ et $f_{2} \sim g_{2}$ en $a$ :

$f_{1} f_{2} \sim g_{1} g_{2}, \frac{f _{1}}{f _{2}} \sim \frac{g _{1}}{g _{2}}, f_{1}^{p} \sim g_{1}^{p} (p \in Z, et p \in R si f_{1} > 0) .$

Les symboles $o$ et $O$ se manipulent par les règles usuelles : $o (g) + o (g) = o (g)$ , $λ o (g) = o (g)$ , $f \cdot o (g) = o (f g)$ , $o (o (g)) = o (g)$ , et $o (g)$ absorbe tout $o (h)$ dès que $h = O (g)$ .

AttentionLes deux interdits majeurs

On n'additionne pas des équivalents : $x + x^{2} \sim x$ et $- x \sim - x + x^{3}$ en $0$ , mais la « somme » donnerait $x^{2} \sim x^{3}$ — faux ! En cas de somme, repasser par la forme $g + o (g)$ ou par les développements limités.
On ne compose pas par $exp$ (ni $ln$ sans précaution) : $x + 1 \sim x$ en $+ \infty$ , mais $e^{x + 1} = e \cdot e^{x} \neq \sim e^{x}$ . (Pour $ln$ : si $f \sim g$ et $g \to ℓ \neq = 1$ avec $ℓ \in] 0, + \infty]$ , alors $ln f \sim ln g$ — utilisable, mais à justifier.)

Proposition 11.6Équivalent par encadrement

Si $f \leq g \leq h$ au voisinage de $a$ et si $f (x) a \sim h (x)$ , alors $g (x) a \sim f (x)$ .

Démonstration

Au voisinage de $a$ (où l'on peut supposer $f > 0$ , quitte à changer les signes) : $\frac{f}{f} \leq \frac{g}{f} \leq \frac{h}{f}$ , et les deux extrêmes tendent vers $1$ (le second car $h \sim f$ ) : le théorème d'encadrement conclut.

Exemple 11.7

En $+ \infty$ : $x - 1 \leq ⌊ x ⌋ \leq x$ et $x - 1 \sim x$ , donc $⌊ x ⌋ + \infty \sim x$ .

Proposition 11.8Propriétés conservées par équivalence

Si $f a \sim g$ , alors :

$f$ et $g$ ont même signe au voisinage de $a$ ;
$f$ admet une limite en $a$ si et seulement si $g$ en admet une, et c'est la même.

C'est ce qui fait des équivalents l'outil roi du calcul de limites : on remplace chaque facteur par un équivalent plus simple.

11.3 Développements limités

11.3.1 Définition et premières propriétés

Définition 11.9Développement limité

$f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $0$ (en abrégé $DL_{n} (0)$ ) s'il existe des constantes $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ telles que, au voisinage de $0$ :

$f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} + o (x^{n}) .$

Le polynôme $a_{0} + \dots + a_{n} x^{n}$ est la partie régulière. En un point $a$ quelconque, le $DL_{n} (a)$ de $f$ se ramène au $DL_{n} (0)$ de $h \mapsto f (a + h)$ : $f (a + h) = a_{0} + a_{1} h + \dots + a_{n} h^{n} + o (h^{n})$ .

◆Théorème 11.10Unicité et troncature

Si $f$ admet un $DL_{n}$ , ses coefficients sont uniques. De plus, $f$ admet alors un $DL_{p}$ pour tout $p \leq n$ , obtenu en tronquant la partie régulière à l'ordre $p$ .

Démonstration (Démonstration de l'unicité)

Si $\sum a_{k} x^{k} + o (x^{n}) = \sum b_{k} x^{k} + o (x^{n})$ , on fait $x \to 0$ : $a_{0} = b_{0}$ . On retranche, on divise par $x$ , et on recommence : $a_{1} = b_{1}$ , etc. — chaque coefficient est déterminé par un passage à la limite.

Exercices du chapitre

Composer un équivalent par $exp$ et par $ln$ : le critère exact corrigé
Ce que Taylor–Young ne dit pas corrigé
Le $D L_{5}$ de $tan$ par son équation différentielle corrigé
$(1 + x)^{1/ x}$ et la lenteur de $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ corrigé
Le premier terme non nul décide corrigé
Une asymptote, et de quel côté corrigé

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