Analyse asymptotique

$$f\sim g⟺f=g+o(g),f\sim g⟹f=O(g),f=o(g)⟹f=O(g).$$

$\sin x\underset{0}{\sim }x$ (taux d'accroissement de $\sin$ en $0$) ;   $x^2+3x\underset{+\infty }{\sim }{x}^2$ mais $x^2+3x\underset{0}{\sim }3x$ : toujours préciser le point ! Un polynôme est équivalent à son terme de plus haut degré en $\pm \infty$, de plus bas degré en $0$.

Pour étudier $f$ au voisinage de $a$ réel non nul, on se ramène systématiquement en $0$ : on pose $x=a+h$ et on étudie $h\mapsto f(a+h)$ quand $h\to 0$. Tous les outils (équivalents usuels, développements limités) sont calibrés en $0$.

Pour $\alpha ,\beta ,\gamma >0$ :

$${\ln }^{\beta }(x)\underset{+\infty }{=}o\left(x^{\alpha }\right),x^{\alpha }\underset{+\infty }{=}o\left(e^{\gamma x}\right),|\ln x{|}^{\beta }\underset{0^{+}}{=}o\left(x^{-\alpha }\right).$$

(Ce sont les croissances comparées du chapitre 4, réécrites avec le symbole $o$.)

Si $f_1\sim g_1$ et $f_2\sim g_2$ en $a$ :

$$f_1{f}_2\sim g_1{g}_2,\frac{f_1}{f_2}\sim \frac{g_1}{g_2},f_1^p\sim g_1^p(p\in \mathbb{Z},\text{ et }p\in \mathbb{R}\text{ si }{f}_1>0).$$

Les symboles $o$ et $O$ se manipulent par les règles usuelles : $o(g)+o(g)=o(g)$, $\lambda o(g)=o(g)$, $f\cdot o(g)=o(fg)$, $o(o(g))=o(g)$, et $o(g)$ absorbe tout $o(h)$ dès que $h=O(g)$.

Si $f\le g\le h$ au voisinage de $a$ et si $f(x)\underset{a}{\sim }h(x)$, alors $g(x)\underset{a}{\sim }f(x)$.

En $+\infty$ : $x-1\le \lfloor x\rfloor \le x$ et $x-1\sim x$, donc $\lfloor x\rfloor \underset{+\infty }{\sim }x$.

Si $f\underset{a}{\sim }g$, alors :

• $f$ et $g$ ont même signe au voisinage de $a$ ;
• $f$ admet une limite en $a$ si et seulement si $g$ en admet une, et c'est la même.

C'est ce qui fait des équivalents l'outil roi du calcul de limites : on remplace chaque facteur par un équivalent plus simple.

Si $f$ admet un ${\mathrm{DL}}_n$, ses coefficients sont uniques. De plus, $f$ admet alors un ${\mathrm{DL}}_p$ pour tout $p\le n$, obtenu en tronquant la partie régulière à l'ordre $p$.

• Signe local : si $a_p$ est le premier coefficient non nul, alors $f(x)\underset{0}{\sim }{a}_p{x}^p$ : au voisinage de $0$, $f$ a le signe de $a_p{x}^p$.
• Parité : si $f$ est paire (resp. impaire), son $\mathrm{DL}$ en $0$ ne contient que des puissances paires (resp. impaires) — conséquence de l'unicité appliquée à $f(-x)=\pm f(x)$.
• Dérivabilité : $f$ est dérivable en $0$ si et seulement si $f$ admet un ${\mathrm{DL}}_1(0)$, et alors $f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+o(x)$ (chapitre 6).

Si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^n$ au voisinage de $a$, alors $f$ admet un ${\mathrm{DL}}_n(a)$ donné par ses dérivées :

$$f(a+h)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}{h}^k+o\left(h^n\right).$$

Tout se retient à partir de quelques souches : $e^x$ donne $\sin$, $\cos$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{ch}$ (tri des termes) ; $\frac{1}{1-x}$ est la somme géométrique du chapitre 2 ; $\ln (1+x)$ et $\mathrm{Arctan}$ s'obtiennent en primitivant $\frac{1}{1+x}$ et $\frac{1}{1+x^2}$ ; $(1+x{)}^{\alpha }$ généralise le binôme. Noter les cas particuliers utiles de $(1+x{)}^{\alpha }$ : $\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+o(x^2)$ et $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+o(x^2)$.

Si $f$ et $g$ admettent des ${\mathrm{DL}}_n(0)$ de parties régulières $P$ et $Q$ :

• Combinaison linéaire : $\lambda f+\mu g$ admet le ${\mathrm{DL}}_n$ de partie régulière $\lambda P+\mu Q$ ;
• Produit : $fg$ admet le ${\mathrm{DL}}_n$ de partie régulière $PQ$ tronquée à l'ordre $n$ ;
• Quotient : si $g(0)\ne 0$, $\frac{f}{g}$ admet un ${\mathrm{DL}}_n$, qu'on calcule en composant avec $\frac{1}{1-u}$ (écrire $g=g(0)(1-u)$ avec $u\to 0$) ;
• Primitivation : si $F^{\prime }=f$, alors $F$ admet un ${\mathrm{DL}}_{n+1}$ obtenu en primitivant terme à terme : $F(x)=F(0)+a_{0}x+\frac{a_1}{2}{x}^2+\cdots +\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}+o\left(x^{n+1}\right)$.

La composition se pratique sur des exemples simples ($u\to 0$ obligatoire : on substitue le $\mathrm{DL}$ de $u$ et on tronque) ; aucun résultat général n'est exigible.

${\mathrm{DL}}_3(0)$ de $e^x\sin x$ : en tronquant le produit à l'ordre $3$,

$$\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\right)\left(x-\frac{x^3}{6}\right)=x+x^2+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)x^3+o(x^3)=x+x^2+\frac{x^3}{3}+o(x^3).$$

${\mathrm{DL}}_2(0)$ de $e^{\cos x}$ (composition) : $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$, donc

$$e^{\cos x}=e\cdot e^{-x^2/2+o(x^2)}=e\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)=e-\frac{e}{2}{x}^2+o(x^2)$$

— on a substitué $u=-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\to 0$ dans $e^u=1+u+o(u)$. Toujours se ramener à une quantité qui tend vers $0$ avant de composer.

$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\sim \frac{1}{2\sqrt{n}}$ ;     $\sin \frac{1}{n}\sim \frac{1}{n}$ (composer un $\mathrm{DL}$ avec la suite $\frac{1}{n}\to 0$ est, lui, parfaitement licite).

Un développement asymptotique généralise le $\mathrm{DL}$ : on approche $f$ ou $u_n$ par une somme de termes de plus en plus petits, pas nécessairement des puissances ($\ln n$, $\frac{\ln n}{n}$, …). Exemple : $H_n=\ln n+\gamma +o(1)$ (chapitres 5–6). La notion générale d'échelle de comparaison est hors programme : on pratique sur des exemples — fonctions réciproques, équations à paramètre, suites récurrentes, suites d'intégrales (voir les exercices).

$$n!\underset{n\to \infty }{\sim }\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n,$$

ce qui se traduit par le développement asymptotique :

$$\ln (n!)=n\ln n-n+\frac{1}{2}\ln (2\pi n)+o(1).$$

Les deux premiers termes $n\ln n-n$ se devinent : $\ln (n!)={\sum }_{k=1}^n\ln k$ ressemble à ${\int }_1^n\ln t\mathrm{d}t=n\ln n-n+1$ (chapitre 4 !). Stirling précise le terme correctif $\frac{1}{2}\ln (2\pi n)$ — et donne accès aux factorielles géantes : $\ln (100!)\approx 100\ln 100-100+\frac{1}{2}\ln (200\pi )\approx 363,7$, soit $100!\approx 9,3\times 10^{157}$.

Déterminer $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (3x)}{\tan (5x)}$ et $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+2x)}{e^x-1}$.

Donner le ${\mathrm{DL}}_3(0)$ de $f(x)=\frac{\ln (1+x)}{1-x}$.

Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-1+\frac{x^2}{2}}{x^4}$.

Retrouver le développement $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o\left(x^3\right)$ à partir de ceux de $\sin$ et $\cos$.

Retrouver le ${\mathrm{DL}}_5(0)$ de $\mathrm{Arctan}$ à partir de celui de sa dérivée, puis en déduire un équivalent de $\mathrm{Arctan}x-x$ en $0$.

Soit $f(x)=e^x-x$. Montrer que $f$ admet un minimum local en $0$, donner la tangente en $0$ au graphe et la position relative de la courbe.

Étudier la branche infinie de $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$ en $+\infty$ : asymptote et position relative.

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note $x_n$ l'unique solution de l'équation $x+\ln x=n$ sur $]0,+\infty [$. Justifier l'existence de $x_n$, puis déterminer un développement asymptotique de $x_n$ à deux termes.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose $I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}\mathrm{d}x$. Montrer que $I_n\to 0$, établir la relation $I_n+I_{n+1}=\frac{1}{n+1}$, et en déduire un équivalent de $I_n$.

À l'aide de la formule de Stirling, déterminer un équivalent du coefficient binomial central $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$.

• Comparaison : $O$ (quotient borné), $o$ (quotient $\to 0$), $\sim$ (quotient $\to 1$) ; la forme qui calcule : $f\sim g⟺f=g+o(g)$ ; étude en $a\ne 0$ : poser $x=a+h$ ; croissances comparées en langage $o$.
• Règles : produits, quotients et puissances d'équivalents sont licites ; jamais de somme d'équivalents, jamais de composition par $\exp$ ; équivalent par encadrement ; un équivalent conserve signe local et limite.
• ${\mathrm{DL}}_n$ : $f=a_0+\cdots +a_n{x}^n+o(x^n)$, coefficients uniques, troncature ; parité ; dérivable $⟺{\mathrm{DL}}_1$ ; Taylor-Young (${\mathcal{C}}^n$ $\Rightarrow$ ${\mathrm{DL}}_n$, coefficients $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$) ; opérations (combinaison, produit tronqué, quotient via $\frac{1}{1-u}$, primitivation, composition avec $u\to 0$) ; prévoir l'ordre, factoriser le prépondérant.
• $\mathrm{DL}$ usuels par cœur : $e^x$, $\sin$, $\cos$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{ch}$, $\frac{1}{1-x}$, $\ln (1+x)$, $(1+x{)}^{\alpha }$, $\mathrm{Arctan}$, $\tan$ (ordre 3).
• Applications : équivalents/limites ; tangente + position (signe de $a_p{x}^p$) ; asymptotes ($f=ax+b+\frac{c}{x}+o(\frac{1}{x})$, poser $u=\frac{1}{x}$) ; extremum à l'ordre 2 (CN : $f^{\prime \prime }\ge 0$ ; CS : $f^{\prime \prime }>0$).
• Suites : mêmes notations et règles ; composer un $\mathrm{DL}$ avec $\frac{1}{n}\to 0$ est licite ; développements asymptotiques sur exemples (équations à paramètre : équivalent grossier puis réinjection ; suites d'intégrales : encadrement + relation de récurrence).
• Stirling : $n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$, soit $\ln (n!)=n\ln n-n+\frac{1}{2}\ln (2\pi n)+o(1)$ ; application : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)\sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$.