Exercices corrigés — Analyse asymptotique (mathématiques MPSI)

26 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

A. Relations de comparaison

• Composer un équivalent par $\exp$ et par $\ln$ : le critère exact Exercice de TD
• Montrer que … et que …. Application directe du cours

B. Calculs de développements limités

• Ce que Taylor–Young ne dit pas Exercice de TD
• Le $D{L}_5$ de $\tan$ par son équation différentielle Exercice de TD
• $(1+x{)}^{1/x}$ et la lenteur de ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ Exercice de TD
• Donner le DL₃(0) de x/(eˣ - 1). Application directe du cours
• Primitivation d'un DL Application directe du cours
• Montrer, par unicité du développement limité, que le DL en 0 d'une… Application directe du cours
• DL d'un produit Application directe du cours
• Le DL₃ de la tangente, par quotient Application directe du cours

D. Études locales : tangentes, asymptotes, extremums

• Le premier terme non nul décide Exercice de TD
• Une asymptote, et de quel côté Exercice de TD
• Asymptote oblique Application directe du cours
• Étude locale complète Application directe du cours

C. Limites

• Calculer lim _x → 0 ( 1/x² - 1/(sin ² x) ). Exercice classique
• Calculer lim _x → 0 ( (sin x)/x )^1/x^2. Application directe du cours
• Limites par équivalents Application directe du cours
• Une limite qui exige l'ordre 4 Application directe du cours

F. Problèmes asymptotiques

• Le DL d'une réciproque, par identification Exercice de TD
• Les racines de $\tan x=x$ : trois termes Exercice de TD
• Les sinus itérés : $u_n\sim \sqrt{3/n}$ Exercice de TD
• Problème — La suite implicite $x^n+x-1=0$ Exercice de TD
• Équation à paramètre Application directe du cours
• Suite d'intégrales Application directe du cours

E. Suites

• Montrer que uₙ = (1 + 1/n )ⁿ admet le développement asymptotique uₙ =… Exercice classique
• Stirling et coefficients binomiaux Application directe du cours

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