mathématiques MPSI · Chapitre 11 · Exercice de TD

Composer un équivalent par $exp$ et par $ln$ : le critère exact

Analyse asymptotique · A. Relations de comparaison · niveau 2

Énoncé

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage de $a$ ( $a \in R$ ou $a = \pm \infty$ ), ne s'annulant pas au voisinage de $a$ .

1) Vrai ou faux : si $f \sim g$ alors $f - g \to 0$ . Que peut-on dire si de plus $g$ est bornée au voisinage de $a$ ?

2) Montrer que $e^{f} \sim e^{g}$ si et seulement si $f - g \to 0$ . En déduire que $f \sim g$ n'entraîne pas $e^{f} \sim e^{g}$ en général, mais l'entraîne dès que $g$ est bornée.

3) On suppose $f > 0$ , $g > 0$ , $f \sim g$ , et $g \to ℓ \in [0, + \infty]$ . Montrer que $ln f \sim ln g$ si $ℓ \neq = 1$ (distinguer $ℓ \in {0, + \infty}$ et $ℓ \in] 0, 1 [\cup] 1, + \infty [$ ). Donner un contre-exemple lorsque $ℓ = 1$ .

4) Application : donner un équivalent en $+ \infty$ de $e^{x^{2} + 1} - e^{x}$ .

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition : $f \sim g$ signifie $\frac{f}{g} \to 1$ , c'est-à-dire $f = g + o (g)$ — un équivalent contrôle un rapport, jamais une différence. Et les règles du cours : produits, quotients, puissances d'équivalents ; un équivalent conserve la limite. La stratégie de l'exercice est de tout ramener au rapport $\frac{f}{g}$ .

1) Faux en général, vrai si $g$ est bornée. Contre-exemple en $+ \infty$ : $f (x) = x^{2} + x$ et $g (x) = x^{2}$ . On a $\frac{f}{g} = 1 + \frac{1}{x} \to 1$ , donc $f \sim g$ , alors que $f - g = x \to + \infty$ . Deux fonctions équivalentes peuvent s'éloigner autant qu'on veut, pourvu qu'elles le fassent relativement peu.

Supposons maintenant $g$ bornée : il existe $M$ tel que $∣ g ∣ \leq M$ au voisinage de $a$ . Écrivons $f - g = g (\frac{f}{g} - 1), donc ∣ f - g ∣ \leq M \frac{f}{g} - 1 ⟶ 0.$ Une différence est un rapport multiplié par $g$ ; si $g$ ne grandit pas, le rapport qui tend vers $1$ force la différence vers $0$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) Montrer que $e^{f} \sim e^{g}$ si et seulement si $f - g \to 0$ . En déduire que $f \sim g$ n'entraîne pas $e^{f} \sim e^{g}$ en général, mais l'entraîne dès que $g$ est bornée.

Élève

Je pensais que $f \sim g$ suffisait pour avoir $e^{f} \sim e^{g}$ , comme on compose par une puissance. Pourquoi l'énoncé parle-t-il de $f - g \to 0$ ?

Reviens à la définition : $e^{f} \sim e^{g}$ signifie qu'un certain quotient tend vers $1$ . Lequel, et comment se simplifie-t-il ?

Élève

Le quotient $\frac{e ^{f}}{e ^{g}}$ vaut $e^{f - g}$ , donc il faut que $e^{f - g} \to 1$ . Si $f - g \to 0$ , c'est la continuité de l'exponentielle en $0$ .

Et réciproquement, si $e^{f - g} \to 1$ , quelle fonction continue te permet de revenir à $f - g$ , et en quel point l'utilises-tu ? Ensuite, le contre-exemple du 1) suffit-il à montrer que $f \sim g$ ne garantit pas $e^{f} \sim e^{g}$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Corrigé de la question 1

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