Asymptote oblique

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 11 — Analyse asymptotique · D. Études locales : tangentes, asymptotes, extremums

Énoncé

Étudier la branche infinie de $f (x) = x^{2} + x + 1$ en $+ \infty$ : asymptote et position relative.

Corrigé

Factorisons le terme prépondérant et posons $u = \frac{1}{x} \to 0^{+}$ : $f (x) = x 1 + u + u^{2} = x (1 + \frac{u}{2} + \frac{3 u ^{2}}{8} + o (u^{2})) = x + \frac{1}{2} + \frac{3}{8 x} + o (\frac{1}{x}) .$ La droite $y = x + \frac{1}{2}$ est asymptote, et $f (x) - (x + \frac{1}{2}) \sim \frac{3}{8 x} > 0$ : la courbe est au-dessus.

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