Le premier terme non nul décide

Ce qu'on démontre. Le cours donne la condition d'ordre $2$ : $f^{\prime }(a)=0$ et $f^{\prime \prime }(a)>0$ suffisent pour un minimum local, et un minimum impose $f^{\prime \prime }(a)\ge 0$. Quand $f^{\prime \prime }(a)=0$, le cours ne conclut pas. L'exercice établit le critère général, qui contient celui du cours comme cas $p=2$.

1) Le théorème général. Par Taylor–Young à l'ordre $p$ (licite : $f$ est ${\mathcal{C}}^n$ avec $n\ge p$) : $$f(a+h)=f(a)+f^{\prime }(a)h+\sum _{k=2}^p\frac{f^{(k)}(a)}{k!}{h}^k+o(h^p).$$ Par définition de $p$, les dérivées $f^{(2)}(a),\dots ,f^{(p-1)}(a)$ sont nulles : la somme se réduit à son dernier terme, et $$f(a+h)-[f(a)+f^{\prime }(a)h]=\frac{f^{(p)}(a)}{p!}{h}^p+o(h^p).$$ Comme $f^{(p)}(a)\ne 0$, le premier terme non nul du développement donne l'équivalent (c'est le cours : $f(x)-P_{p-1}(x)\sim a_p{x}^p$) : $$f(a+h)-[f(a)+f^{\prime }(a)h]\sim \frac{f^{(p)}(a)}{p!}{h}^p.$$

Position par rapport à la tangente. Un équivalent conserve le signe au voisinage : la différence entre la courbe et sa tangente $y=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$ a, pour $h$ assez petit non nul, le signe de $\frac{f^{(p)}(a)}{p!}{h}^p$.

• Si $p$ est pair, $h^p>0$ pour tout $h\ne 0$ : le signe est celui de $f^{(p)}(a)$, constant des deux côtés. La courbe est au-dessus de sa tangente si $f^{(p)}(a)>0$, en dessous si $f^{(p)}(a)<0$.
• Si $p$ est impair, $h^p$ change de signe avec $h$ : la courbe est d'un côté de la tangente pour $h<0$ et de l'autre pour $h>0$. Elle la traverse : point d'inflexion.

Extremum. Supposons $f^{\prime }(a)=0$ : la tangente est horizontale et $f(a+h)-f(a)\sim c{h}^p$ avec $c=\frac{f^{(p)}(a)}{p!}\ne 0$. Si $p$ est pair, il existe $\alpha >0$ tel que $f(a+h)-f(a)$ ait le signe strict de $c$ pour $0<|h|\le \alpha$ : minimum local strict si $c>0$, maximum local strict si $c<0$. Si $p$ est impair, $f(a+h)-f(a)$ change de signe en $0$ : pas d'extremum. Donc, sous l'hypothèse qu'une dérivée en $a$ est non nulle, $f$ admet en $a$ un extremum local strict si et seulement si $p$ est pair. (Sans cette hypothèse, rien : c'est la fonction plate de l'exercice 2.)

2) Un minimum que l'ordre 2 ne voit pas. $f(x)=\cos x+\frac{x^2}{2}$ est ${\mathcal{C}}^{\infty }$, avec $$f^{\prime }(x)=-\sin x+x,f^{\prime \prime }(x)=-\cos x+1,f^{\prime \prime \prime }(x)=\sin x,f^{(4)}(x)=\cos x.$$ En $0$ : $f^{\prime }(0)=0$ (point critique), $f^{\prime \prime }(0)=0$ (le critère d'ordre $2$ est muet), $f^{\prime \prime \prime }(0)=0$, et $f^{(4)}(0)=1\ne 0$. Donc $p=4$, pair, avec $c=\frac{1}{24}>0$ : minimum local strict en $0$. On le lit aussi directement sur le développement $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)$, qui donne $$f(x)=1+\frac{x^4}{24}+o(x^4):$$ les termes en $x^2$ se sont exactement annulés, c'est toute l'astuce de l'énoncé, et le premier terme survivant est positif et pair. Contrôle numérique : $f(0,1)-1=4,1653\cdot 10^{-6}$ contre $\frac{0,1^4}{24}=4,1667\cdot 10^{-6}$.

3) Une inflexion qui satisfait la condition nécessaire. $g(x)=x-\sin x$ : $g^{\prime }(x)=1-\cos x$, $g^{\prime \prime }(x)=\sin x$, $g^{\prime \prime \prime }(x)=\cos x$. En $0$ : $g^{\prime }(0)=0$, $g^{\prime \prime }(0)=0$, $g^{\prime \prime \prime }(0)=1\ne 0$. Donc $p=3$, impair : pas d'extremum, la courbe traverse sa tangente horizontale $y=0$ — c'est le développement $g(x)=\frac{x^3}{6}+o(x^3)$, négatif à gauche, positif à droite ($g(-0,1)=-1,67\cdot 10^{-4}$, $g(0,1)=+1,67\cdot 10^{-4}$).

Et pourtant la condition nécessaire d'ordre $2$ est satisfaite : $g^{\prime \prime }(0)=0\ge 0$, comme l'exigerait un minimum — et $g^{\prime \prime }(0)\le 0$, comme l'exigerait un maximum. Une condition nécessaire ne conclut jamais : elle élimine (si $g^{\prime \prime }(0)<0$, pas de minimum), elle n'affirme pas.

Ce que l'exercice installe. Le critère général : le signe de $f(a+h)-f(a)$ est celui du premier terme non nul du développement, et c'est la parité de son exposant qui décide de l'extremum. La condition d'ordre $2$ du cours en est le cas $p=2$. Quand elle est muette, on pousse le développement — et l'exercice 2 rappelle que si l'on peut le pousser indéfiniment sans rien trouver, le critère ne dit rien.