mathématiques MPSI · Chapitre 11 · Application directe du cours

Suite d'intégrales

Analyse asymptotique · F. Problèmes asymptotiques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Pour $n \in N$ , on pose $I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{1 + x} d x$ . Montrer que $I_{n} \to 0$ , établir $I_{n} + I_{n + 1} = \frac{1}{n + 1}$ , et en déduire un équivalent de $I_{n}$ .

Corrigé

Limite : $0 \leq I_{n} \leq \int_{0}^{1} x^{n} = \frac{1}{n + 1} \to 0$ (encadrement).

Relation : $I_{n} + I_{n + 1} = \int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1}$ .

Équivalent : $(I_{n})$ décroît, donc $2 I_{n + 1} \leq \frac{1}{n + 1} \leq 2 I_{n}$ , d'où l'encadrement qui livre : $I_{n} \sim \frac{1}{2 n} .$ (Au passage, $I_{0} = ln 2$ : ces intégrales « cachent » la série alternée de $ln 2$ .)

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