Équation à paramètre

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques MPSI, chapitre 11 — Analyse asymptotique · F. Problèmes asymptotiques

Énoncé

Pour $n \in N^{*}$ , on note $x_{n}$ l'unique solution de $x + ln x = n$ sur $] 0, + \infty [$ . Justifier l'existence de $x_{n}$ , puis déterminer un développement asymptotique à deux termes.

Corrigé

Existence : $g (x) = x + ln x$ est une bijection continue strictement croissante de $] 0, + \infty [$ sur $R$ , d'où un unique $x_{n} \to + \infty$ .

Premier terme : $ln x_{n} = o (x_{n})$ donne $x_{n} \sim n$ . Deuxième terme : alors $ln x_{n} = ln n + o (1)$ , et en reportant : $x_{n} = n - ln n + o (1) .$ (Méthode typique : un équivalent « grossier », réinjecté dans l'équation, produit le terme suivant — on peut itérer.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.