Équation à paramètre

Existence : $g(x)=x+\ln x$ est une bijection continue strictement croissante de $]0,+\infty [$ sur $\mathbb{R}$, d'où un unique $x_n\to +\infty$.

Premier terme : $\ln x_n=o(x_n)$ donne $x_n\sim n$. Deuxième terme : alors $\ln x_n=\ln n+o(1)$, et en reportant : $$x_n=n-\ln n+o(1).$$ (Méthode typique : un équivalent « grossier », réinjecté dans l'équation, produit le terme suivant — on peut itérer.)