mathématiques MPSI · Chapitre 11 · Exercice de TD

Ce que Taylor–Young ne dit pas

Analyse asymptotique · B. Calculs de développements limités · niveau 3 (difficile)

Énoncé

1) Soit $f (x) = x^{3} sin \frac{1}{x}$ pour $x \neq = 0$ et $f (0) = 0$ . Montrer que $f$ admet un développement limité à l'ordre $2$ en $0$ , que $f$ est dérivable sur $R$ , mais que $f^{'}$ n'est pas dérivable en $0$ . Que dire de la réciproque de la formule de Taylor–Young ?

2) Soit $g (x) = e^{- 1/ x^{2}}$ pour $x \neq = 0$ et $g (0) = 0$ .

a) Montrer que pour tout $n \in N$ , il existe un polynôme $P_{n}$ tel que $g^{(n)} (x) = P_{n} (\frac{1}{x}) e^{- 1/ x^{2}}$ pour tout $x \neq = 0$ .

b) Montrer par récurrence que $g$ est de classe $C^{\infty}$ sur $R$ et que $g^{(n)} (0) = 0$ pour tout $n$ .

c) Quel est le développement limité de $g$ en $0$ à l'ordre $n$ ? Qu'en conclure sur ce qu'un développement limité, même à tout ordre, dit d'une fonction ?

Corrigé de la question 1

Ce qu'on démontre. La formule de Taylor–Young dit : si $f$ est de classe $C^{n}$ , alors $f$ admet un $DL_{n}$ , dont les coefficients sont $\frac{f ^{(k)} ( 0 )}{k !}$ . L'exercice montre que la réciproque est fausse dès l'ordre $2$ , et qu'un développement limité, même connu à tout ordre, ne détermine pas la fonction.

1) Un $DL_{2}$ sans dérivée seconde. Pour $x \neq = 0$ , $∣ f (x) ∣ = ∣ x ∣^{3} sin \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣^{3}$ , donc $\frac{f ( x )}{x ^{2}} \to 0$ : $f (x) = o (x^{2})$ , c'est-à-dire $f (x) = 0 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^{2} + o (x^{2}) .$ C'est un développement limité à l'ordre $2$ (et même, par le même argument, à l'ordre $2$ seulement : $f (x) / x^{3} = sin (1/ x)$ n'a pas de limite, donc pas de $DL_{3}$ ).

Dérivabilité. Sur $R^{*}$ , $f$ est dérivable comme produit et composée de fonctions dérivables : $f^{'} (x) = 3 x^{2} sin \frac{1}{x} + x^{3} \cdot (- \frac{1}{x ^{2}}) cos \frac{1}{x} = 3 x^{2} sin \frac{1}{x} - x cos \frac{1}{x} .$ En $0$ : $\frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x} = x^{2} sin \frac{1}{x} \to 0$ , donc $f^{'} (0) = 0$ . Ainsi $f$ est dérivable sur $R$ . On remarque que $f^{'} (x) \to 0 = f^{'} (0)$ quand $x \to 0$ (chaque terme est borné multiplié par une quantité qui tend vers $0$ ) : $f$ est même de classe $C^{1}$ .

$f^{'}$ n'est pas dérivable en $0$ . Le taux d'accroissement de $f^{'}$ en $0$ est $\frac{f ^{'} ( x ) - f ^{'} ( 0 )}{x} = 3 x sin \frac{1}{x} - cos \frac{1}{x} .$ Le premier terme tend vers $0$ . Le second n'a pas de limite : pour $x_{k} = \frac{1}{2 k π}$ , $cos \frac{1}{x _{k}} = 1$ , et pour $x_{k}^{'} = \frac{1}{( 2 k + 1 ) π}$ , $cos \frac{1}{x _{k}^{'}} = - 1$ ; deux suites qui tendent vers $0$ donnent deux limites différentes. Donc $f^{''} (0)$ n'existe pas.

Conclusion. $f$ admet un $DL_{2}$ en $0$ sans être deux fois dérivable en $0$ : la réciproque de Taylor–Young est fausse à l'ordre $2$ . Elle est vraie à l'ordre $1$ — c'est le cours : $f$ dérivable en $0$ si et seulement si $f$ admet un $DL_{1} (0)$ . L'ordre $1$ est une exception, pas une règle.

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) Soit $g (x) = e^{- 1/ x^{2}}$ pour $x \neq = 0$ et $g (0) = 0$ .

a) Montrer que pour tout $n \in N$ , il existe un polynôme $P_{n}$ tel que $g^{(n)} (x) = P_{n} (\frac{1}{x}) e^{- 1/ x^{2}}$ pour tout $x \neq = 0$ .

b) Montrer par récurrence que $g$ est de classe $C^{\infty}$ sur $R$ et que $g^{(n)} (0) = 0$ pour tout $n$ .

Élève

Pour le b), le a) donne $g^{(n)} (x) = P_{n} (\frac{1}{x}) e^{- 1/ x^{2}}$ , qui tend vers $0$ quand $x \to 0$ . Donc $g^{(n)} (0) = 0$ par continuité, et la récurrence est finie ?

Pas encore : il faut d'abord que $g^{(n + 1)} (0)$ existe, et la formule du a) ne vaut que pour $x \neq = 0$ . En supposant $g^{(n)} (0) = 0$ , comment prouves-tu à la main que $g^{(n)}$ est dérivable en $0$ ?

Élève

Par le taux d'accroissement en $0$ : $\frac{g ^{(n)} ( x ) - g ^{(n)} ( 0 )}{x} = \frac{1}{x} P_{n} (\frac{1}{x}) e^{- 1/ x^{2}}$ .

En posant $t = \frac{1}{x}$ , sous quelle forme se présente ce taux quand $∣ t ∣ \to + \infty$ , et quel résultat de croissances comparées permet de conclure ? Que te faut-il encore pour passer de « indéfiniment dérivable » à « de classe $C^{\infty}$ » ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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