Ce que Taylor–Young ne dit pas

Ce qu'on démontre. La formule de Taylor–Young dit : si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^n$, alors $f$ admet un ${\mathrm{DL}}_n$, dont les coefficients sont $\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$. L'exercice montre que la réciproque est fausse dès l'ordre $2$, et qu'un développement limité, même connu à tout ordre, ne détermine pas la fonction.

1) Un ${\mathrm{DL}}_2$ sans dérivée seconde. Pour $x\ne 0$, $|f(x)|=|x{|}^3\left|\sin \frac{1}{x}\right|\le |x{|}^3$, donc $\frac{f(x)}{x^2}\to 0$ : $f(x)=o(x^2)$, c'est-à-dire $$f(x)=0+0\cdot x+0\cdot x^2+o(x^2).$$ C'est un développement limité à l'ordre $2$ (et même, par le même argument, à l'ordre $2$ seulement : $f(x)/x^3=\sin (1/x)$ n'a pas de limite, donc pas de ${\mathrm{DL}}_3$).

Dérivabilité. Sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$, $f$ est dérivable comme produit et composée de fonctions dérivables : $$f^{\prime }(x)=3x^2\sin \frac{1}{x}+x^3\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)\cos \frac{1}{x}=3x^2\sin \frac{1}{x}-x\cos \frac{1}{x}.$$ En $0$ : $\frac{f(x)-f(0)}{x}=x^2\sin \frac{1}{x}\to 0$, donc $f^{\prime }(0)=0$. Ainsi $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On remarque que $f^{\prime }(x)\to 0=f^{\prime }(0)$ quand $x\to 0$ (chaque terme est borné multiplié par une quantité qui tend vers $0$) : $f$ est même de classe ${\mathcal{C}}^1$.

$f^{\prime }$ n'est pas dérivable en $0$. Le taux d'accroissement de $f^{\prime }$ en $0$ est $$\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(0)}{x}=3x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}.$$ Le premier terme tend vers $0$. Le second n'a pas de limite : pour $x_k=\frac{1}{2k\pi }$, $\cos \frac{1}{x_k}=1$, et pour $x_k^{\prime }=\frac{1}{(2k+1)\pi }$, $\cos \frac{1}{x_k^{\prime }}=-1$ ; deux suites qui tendent vers $0$ donnent deux limites différentes. Donc $f^{\prime \prime }(0)$ n'existe pas.

Conclusion. $f$ admet un ${\mathrm{DL}}_2$ en $0$ sans être deux fois dérivable en $0$ : la réciproque de Taylor–Young est fausse à l'ordre $2$. Elle est vraie à l'ordre $1$ — c'est le cours : $f$ dérivable en $0$ si et seulement si $f$ admet un ${\mathrm{DL}}_1(0)$. L'ordre $1$ est une exception, pas une règle.

2) Une fonction plate.

a) La forme des dérivées. Récurrence sur $n$. Pour $n=0$, $P_0=1$ convient. Supposons $g^{(n)}(x)=P_n\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x^2}$ sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Dérivons, avec $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[P_n\left(\frac{1}{x}\right)\right]=-\frac{1}{x^2}{P}_n^{\prime }\left(\frac{1}{x}\right)$ et $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[e^{-1/x^2}\right]=\frac{2}{x^3}{e}^{-1/x^2}$ : $$g^{(n+1)}(x)=\left[-\frac{1}{x^2}{P}_n^{\prime }\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{2}{x^3}{P}_n\left(\frac{1}{x}\right)\right]e^{-1/x^2}=P_{n+1}\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x^2},$$ avec $P_{n+1}(t)=-t^2{P}_n^{\prime }(t)+2t^3{P}_n(t)$, qui est bien un polynôme. La récurrence est établie. (Au passage, $\mathrm{deg}{P}_{n+1}=\mathrm{deg}{P}_n+3$, donc $\mathrm{deg}{P}_n=3n$.)

b) Classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ et dérivées nulles en $0$. Montrons par récurrence sur $n$ la propriété : $g$ est $n$ fois dérivable sur $\mathbb{R}$, avec $g^{(n)}(0)=0$.

Initialisation. $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ ; c'est la propriété pour $n=0$ avec $g(0)=0$. (Et $g$ est continue en $0$ : $-\frac{1}{x^2}\to -\infty$, donc $e^{-1/x^2}\to 0$.)

Hérédité. Supposons $g$ $n$ fois dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $g^{(n)}(0)=0$. Sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$, $g^{(n)}$ est dérivable d'après le a). En $0$, le taux d'accroissement de $g^{(n)}$ est $$\frac{g^{(n)}(x)-g^{(n)}(0)}{x}=\frac{1}{x}{P}_n\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x^2}=Q_n(t)e^{-t^2},t=\frac{1}{x},Q_n(t)=t{P}_n(t).$$ Quand $x\to 0$, $|t|\to +\infty$, et un polynôme multiplié par $e^{-t^2}$ tend vers $0$ : c'est la croissance comparée $t^k=o\left(e^{t^2}\right)$, pour chaque monôme. Donc $g^{(n+1)}(0)$ existe et vaut $0$. La propriété est héréditaire.

Ainsi $g$ est indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $g^{(n)}(0)=0$ pour tout $n$. Chaque $g^{(n)}$ est de plus continue en $0$, par le même argument de croissance comparée appliqué à $P_n(1/x)e^{-1/x^2}\to 0=g^{(n)}(0)$ : $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$.

Le point délicat. On ne peut pas dériver « la formule » en $0$ : il n'y en a pas. La dérivabilité en $0$ se prouve par le taux d'accroissement, et c'est la croissance comparée qui le fait tendre vers $0$, quel que soit le degré du polynôme. C'est le même mécanisme qui rendait $x\mapsto x^k{e}^{-x}$ négligeable au chapitre 6.

c) Le développement limité, et la conclusion. Par Taylor–Young, $g$ étant ${\mathcal{C}}^n$ avec toutes ses dérivées nulles en $0$ : $$g(x)=0+0\cdot x+\cdots +0\cdot x^n+o(x^n),\text{c’est-aˋ-dire}g(x)=o(x^n)\text{ pour tout }n.$$ La fonction $g$ est négligeable devant toute puissance de $x$ en $0$ — elle est « plate ». Pourtant $g$ n'est pas la fonction nulle : $g(1)=e^{-1}$, et $g(x)>0$ pour tout $x\ne 0$.

Conclusion : $g$ et la fonction nulle ont les mêmes développements limités à tout ordre, et sont différentes. Un développement limité, même à tout ordre, ne détermine pas la fonction. Il n'est qu'une information locale, d'ordre fini à chaque fois. Contrôle numérique : en $x=0,1$, $g(x)\approx 3,7\cdot 10^{-44}$, et $g(x)/x^{20}\approx 3,7\cdot 10^{-24}$ — tout est écrasé.

Une conséquence pour l'étude locale. $g$ est paire, positive, nulle en $0$ : elle admet en $0$ un minimum strict. Mais aucun développement limité ne peut le détecter, puisqu'ils sont tous nuls — le critère du premier terme non nul, qu'on établira à l'exercice 5, exige qu'il y ait un terme non nul.

Ce que l'exercice installe. Le sens exact de la formule de Taylor–Young : une condition suffisante pour avoir un développement limité, jamais une équivalence au-delà de l'ordre $1$. Et une leçon de fond : les développements limités sont un outil de calcul local, pas une description de la fonction. Cette fonction plate resservira en seconde année comme brique des fonctions « à support compact ».