Le DL₃ de la tangente, par quotient

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 11 — Analyse asymptotique · B. Calculs de développements limités

Énoncé

Retrouver le développement $tan x = x + \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3})$ à partir de ceux de $sin$ et $cos$ .

Corrigé

Écrivons $cos x = 1 - u$ avec $u = \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{3}) \to 0$ , et composons avec $\frac{1}{1 - u} = 1 + u + o (u)$ : $\frac{1}{cos x} = 1 + \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{3}) .$ Puis le produit tronqué : $tan x = (x - \frac{x ^{3}}{6}) (1 + \frac{x ^{2}}{2}) + o (x^{3}) = x + \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3}) .$

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.