mathématiques MPSI · Chapitre 11 · Application directe du cours

Le DL₃ de la tangente, par quotient

Analyse asymptotique · B. Calculs de développements limités · niveau 2

Énoncé

Retrouver le développement $tan x = x + \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3})$ à partir de ceux de $sin$ et $cos$ .

Corrigé

Écrivons $cos x = 1 - u$ avec $u = \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{3}) \to 0$ , et composons avec $\frac{1}{1 - u} = 1 + u + o (u)$ : $\frac{1}{cos x} = 1 + \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{3}) .$ Puis le produit tronqué : $tan x = (x - \frac{x ^{3}}{6}) (1 + \frac{x ^{2}}{2}) + o (x^{3}) = x + \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3}) .$

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