mathématiques MPSI · Chapitre 11 · Application directe du cours

Étude locale complète

Analyse asymptotique · D. Études locales : tangentes, asymptotes, extremums · niveau 2

Énoncé

Soit $f (x) = e^{x} - x$ . Montrer que $f$ admet un minimum local en $0$ , donner la tangente en $0$ et la position relative de la courbe.

Corrigé

$f^{'} (0) = 0$ (point critique) et $f^{''} (0) = 1 > 0$ : la condition suffisante à l'ordre 2 donne un minimum local en $0$ (même global : $e^{x} \geq 1 + x$ ). Par Taylor-Young : $f (x) = 1 + \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2}) :$ tangente horizontale $y = 1$ , et $f (x) - 1 \sim \frac{x ^{2}}{2} > 0$ : courbe au-dessus de sa tangente.

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