Donner le DL₃(0) de x/(eˣ - 1).

La stratégie. La fonction $\frac{x}{e^x-1}$ n'est pas définie en $0$ mais s'y prolonge par continuité. On factorise $x$ au dénominateur, puis on inverse le développement obtenu par la formule $\frac{1}{1+u}=1-u+u^2-u^3+o(u^3)$.

1) Le développement du dénominateur — à l'ordre 4.

$$e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+o\left(x^4\right)=x\left(1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+o\left(x^3\right)\right)$$

⚠️ Il fallait pousser $e^x$ jusqu'à l'ordre 4 alors qu'on ne demande qu'un ${\mathrm{DL}}_3$. La factorisation par $x$ fait « remonter » tout le développement d'un cran : le $x^4$ du numérateur devient le $x^3$ du crochet. Un développement de $e^x$ arrêté à l'ordre 3 aurait donné un ${\mathrm{DL}}_2$, et un troisième coefficient faux.

2) L'inversion. Posons $u=\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+o(x^3)$, qui tend vers $0$. Alors $$\frac{x}{e^x-1}=\frac{1}{1+u}=1-u+u^2-u^3+o\left(u^3\right)$$ On calcule les puissances en ne gardant que ce qui vit jusqu'à l'ordre $3$ :

• $u^2=\frac{x^2}{4}+2\cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{x^2}{6}+o(x^3)=\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$ ;
• $u^3=\frac{x^3}{8}+o(x^3)$.

En sommant coefficient par coefficient :

• en $x$ : $-\frac{1}{2}$ ;
• en $x^2$ : $-\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$ ;
• en $x^3$ : $-\frac{1}{24}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}=\frac{-1+4-3}{24}=0$.

$$\boxed{\frac{x}{e^x-1}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{12}+o\left(x^3\right)}$$

3) Le coefficient nul n'est pas un hasard. Posons $g(x)=\frac{x}{e^x-1}+\frac{x}{2}$. En multipliant haut et bas par $e^x$ : $$\frac{-x}{e^{-x}-1}=\frac{x{e}^x}{e^x-1}=x+\frac{x}{e^x-1}$$ donc $g(-x)=x+\frac{x}{e^x-1}-\frac{x}{2}=g(x)$ : $g$ est paire. Par l'exercice 25, tous ses coefficients impairs sont nuls — et donc ceux de $\frac{x}{e^x-1}$ aussi, au-delà du terme $-\frac{x}{2}$.

Contrôle numérique (approximation par $1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{12}$) :

L'écart est divisé par $10^4$ quand $x$ l'est par $10$ : il est en $x^4$, comme l'annonce le terme suivant $-\frac{x^4}{720}$.

Ce que l'exercice installe. Le réflexe « je factorise, donc je gagne un ordre à demander en amont » — la source d'erreur numéro un des quotients. Accessoirement, les coefficients rencontrés, $1,-\frac{1}{2},\frac{1}{12},0,-\frac{1}{720}$, sont les nombres de Bernoulli $\frac{B_n}{n!}$.