mathématiques MPSI · Chapitre 11 · Application directe du cours

Une limite qui exige l'ordre 4

Analyse asymptotique · C. Limites · niveau 1 (application)

Énoncé

Calculer $x \to 0 lim \frac{cos x - 1 + \frac{x ^{2}}{2}}{x ^{4}}$ .

Corrigé

Le numérateur annule les termes d'ordre $\leq 3$ du cosinus : il faut le $DL_{4}$ , $cos x - 1 + \frac{x ^{2}}{2} = \frac{x ^{4}}{24} + o (x^{4}) \sim \frac{x ^{4}}{24} .$ D'où la limite $\frac{1}{24}$ . (Morale : prévoir l'ordre — chaque simplification au numérateur coûte un ordre de plus.)

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