Montrer que uₙ = (1 + 1/n )ⁿ admet le développement asymptotique uₙ =…

La stratégie. On passe au logarithme, on développe en $\frac{1}{n}$, puis on recompose par l'exponentielle. C'est littéralement l'exercice 21 lu au point $x=\frac{1}{n}$.

1) Mise sous forme exponentielle. Pour $n\ge 1$, $$u_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=\exp \left(n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right)$$

2) L'exposant. On applique $\ln (1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+O\left(t^4\right)$ avec $t=\frac{1}{n}\to 0$ : $$\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)$$ puis on multiplie par $n$ — ⚠️ et c'est ici qu'il fallait un terme de plus : la multiplication par $n$ remonte tout d'un cran, et un développement de $\ln$ arrêté à l'ordre $2$ aurait donné un $O(1/n^2)$ trop grossier pour identifier le terme suivant : $$n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)=1-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$

3) La recomposition. On sort la constante $1$ et on pose $v_n=-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)\to 0$ : $$u_n=e\cdot e^{v_n}=e\left(1+v_n+\frac{v_n^2}{2}+O\left(v_n^3\right)\right)$$ avec $v_n^2=\frac{1}{4n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$, d'où $$u_n=e\left(1-\frac{1}{2n}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{8}\right)\frac{1}{n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)=e-\frac{e}{2n}+\frac{11e}{24n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$ ce qui contient en particulier le développement demandé : $$\boxed{u_n=e-\frac{e}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)}$$

4) La vitesse de convergence. On lit directement $$e-u_n\sim \frac{e}{2n}$$ L'erreur décroît comme $\frac{1}{n}$ : il faut multiplier $n$ par $10$ pour gagner une seule décimale. Pour atteindre $10^{-6}$, il faut $\frac{e}{2n}<10^{-6}$, soit $n>1359141$. C'est exactement la lenteur constatée numériquement au chapitre 6 — et elle est ici expliquée, pas seulement observée.

Contrôle numérique.

$n$	$u_n$	$n(u_n-e)$	$n^2\left(u_n-e+\frac{e}{2n}\right)$
$10$	$2,5937424601$	$-1,24539$	$1,13747$
$10^2$	$2,7048138294$	$-1,34680$	$1,23410$
$10^3$	$2,7169239322$	$-1,35790$	$1,24469$
$10^4$	$2,7181459268$	$-1,35902$	$1,24576$
$10^5$	$2,7182682372$	$-1,35913$	$1,24587$
$10^6$	$2,7182804693$	$-1,35914$	$1,24588$
valeur visée	$e=2,7182818285$	$-\frac{e}{2}=-1,35914$	$\frac{11e}{24}=1,24588$

Les deux colonnes de droite convergent vers les constantes annoncées : le développement est confirmé jusqu'au terme d'ordre 2, pas seulement pour son premier terme.

Ce que l'exercice installe. Un développement asymptotique n'est pas un ornement : c'est la mesure de la vitesse de convergence. « $u_n\to e$ » ne permet pas de choisir un $n$ ; « $e-u_n\sim \frac{e}{2n}$ » le permet.