Calculer lim _x → 0 ( 1/x² - 1/(sin ² x) ).

La stratégie. Forme indéterminée « $\infty -\infty$ ». On réduit au même dénominateur pour se ramener à un quotient, puis on développe au bon ordre — celui qu'impose le dénominateur.

1) La mise au même dénominateur. $$\frac{1}{x^2}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=\frac{{\sin }^{2}x-x^2}{x^2{\sin }^{2}x}$$

2) Quel ordre faut-il ? Le dénominateur vaut $x^2{\sin }^{2}x\sim x^2\cdot x^2=x^4$.

⚠️ C'est le dénominateur qui fixe l'ordre du numérateur : il faut le développer jusqu'à $x^4$. Et surtout : écrire ici $\sin x\sim x$ serait une faute — un équivalent ne se soustrait pas, il donnerait ${\sin }^{2}x-x^2\sim 0$, ce qui ne veut rien dire. Il faut un développement limité, pas un équivalent.

3) Le numérateur. De $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o\left(x^4\right)$ on tire, en élevant au carré : $${\sin }^{2}x=x^2{\left(1-\frac{x^2}{6}+o\left(x^3\right)\right)}^2=x^2\left(1-\frac{x^2}{3}+o\left(x^3\right)\right)=x^2-\frac{x^4}{3}+o\left(x^5\right)$$ (le double produit $2\cdot 1\cdot \left(-\frac{x^2}{6}\right)=-\frac{x^2}{3}$ ; le carré $\frac{x^4}{36}$ est négligeable). Donc $${\sin }^{2}x-x^2=-\frac{x^4}{3}+o\left(x^5\right)$$

4) Le quotient. $$\frac{{\sin }^{2}x-x^2}{x^2{\sin }^{2}x}=\frac{-\frac{x^4}{3}+o\left(x^4\right)}{x^4\left(1+o(1)\right)}=\frac{-\frac{1}{3}+o(1)}{1+o(1)}⟶-\frac{1}{3}$$

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)=-\frac{1}{3}}$$

Une variante utile. En inversant directement, $\frac{1}{{\sin }^{2}x}=\frac{1}{x^2}\left(1+\frac{x^2}{3}+o(x^2)\right)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{3}+o(1)$ : la fonction $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ est « $\frac{1}{x^2}$ décalé de $\frac{1}{3}$ ». C'est sous cette forme qu'elle resservira à l'exercice 43.

Contrôle numérique.

$x$	$\frac{1}{x^2}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$
$0,5$	$-0,3506852993$
$0,1$	$-0,3340010597$
$0,01$	$-0,3333400001$
$10^{-3}$	$-0,3333334000$

Le développement suivant donne $-\frac{1}{3}-\frac{x^2}{15}$ : en $x=0,1$ cela vaut $-0,333333-0,000667=-0,334000$, ce que la table confirme à la sixième décimale. La convergence est donc bien en $x^2$, comme prévu.

Ce que l'exercice installe. Devant « $\infty -\infty$ » : réduire au même dénominateur, lire l'ordre sur le dénominateur, et ne développer le numérateur qu'à cet ordre-là — ni moins (résultat faux), ni plus (travail perdu).